Estimating errors of numerical approximation for periodic analytic functions

Abstract

We give a simple method based on Cauchy's integral formula for estimating the errors of numerical approximation for periodic analytic functions. We then obtain error estimates for the quadrature formulas of Chawla and Ramakrishnan [1] for the numerical evaluation of the Cauchy principal value integral

$$I\left( {f;a} \right) = \int\limits_0^{2\pi } {f(x)\cot \left( {\left( {x - a} \right)/2} \right)dx,} $$

and for the quadrature formula of Garrick [2] for the evaluation ofI (f;o), Based on these error estimates, we are led to conclude that for the evaluation ofI (f;o), Garrick's formula has a better error estimate than the formula of Chawla and Ramakrishnan with the same number of function evaluations. Finally, we extend Garrick's formula for the evaluation ofI (f;a) for arbitrarya∈[0,2π); the extended formula has, for alla, the same error estimate as Garrick's formula. While, for a=x_j, the extended formula is identical with the quadrature formula of Wittich [3], fora≠x _j, the extended formula is much better in that it uses only half the number of function evaluations of Wittich's formula for the same accuracy.

Zusammenfassung

Ausgehend von der Cauchyschen Integralformel beschreiben wir ein einfaches Verfahren zur Fehlerabschätzung für numerische Approximationen bei periodischen analytischen Funktionen. Anschließend werden Fehlerabschätzungen angegeben für die Quadraturformel nach Chawla und Ramakrishnan [1] zur numerischen Berechnung des Cauchyschen Hauptwerts

$$I\left( {f;a} \right) = \int\limits_0^{2\pi } {f(x)\cot \left( {\left( {x - a} \right)/2} \right)dx,} $$

unf für die Quadraturformel nach Garrick [2] für die Berechnung vonI f; o). Dabei ergeben sich für die Garricksche Formel günstigere Fehlerschranken als für die Formel von Chawla und Ramakrishnan. Schließlich betrachten wir eine Erweiterung der Garrickschen Formel zur Berechnung vonI(f;a) für beliebigesa∈[0,2 π), welche für allea die gleiche Fehlerschranke hat. Während füra=x _j die erweiterte Formel mit der Quadraturformel nach Wittich [3] übereinstimmt, ist sie füra≠x _j vorteilhafter, weil sie für die gleiche Genauigkeit nur die Hälfte an Funktionsauswertungen benötigt gegenüber der Wittichschen Formel.