Bounds for an interval polynomial

Abstract

We discuss the evaluation of the range of values of an interval polynomial over an interval. Several algorithms are proposed and tested on numerical examples. The algorithms are based on ideas by Cargo and Shiska [2] and Rivlin [4]. The one basic algorithm uses Bernstein polynomials. It is shown to converge to the exact bounds and it has furthermore the property that if the maximum respectively the minimum of the polynomials occurs at an endpoint of the interval then the bound is exact. This is a useful property in routines for polynomials zeros. The other basic method is based on the meanvalue theorem and it has the advantage that the degree of approximation required for a certain apriori tolerance is smaller than the degree required in the Bernstein polynomial case. The mean value method is shown to be at least quadratically convergent and the Bernstein polynomial method is shown to be at least linearly convergent.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird die Auswertung von Schranken für den Wertebereich für Intervallpolynome über einem Intervall diskutiert. Mehrere Algorithmen sind vorgeschlagen und sie sind an numerischen Beispielen ausgewertet. Die Algorithmen basieren auf Ideen von Cargo und Shiska [2] und Rivlin [4]. Der eine fundamentale Algorithmus benutzt Polynome, und die Konvergenz gegen die genauen Schranken wird für diesen Algorithmus gezeigt. Ferner ist es von Nutzen, daß, wenn die obere bzw. untere Schranke des Polynoms am Ende des Intervalles auftritt, die Schranke genau ausgewertet wird. Die andere Methode basiert auf dem Mittelwertsatz. Diese Methode hat den Vorteil, daß der Grad der Approximation, der von einer gewissen Toleranz verlangt wird, kleiner ist als im Fall des Bernstein-Polynoms. Es wird gezeigt, daß die Mittelwert.-satzmethode mindestens quadratisch konvergent ist und daß die Bernstein-Polynom-Methode mindestens linear konvergent ist.