On the convergence of the discrete ART algorithm for the reconstruction of digital pictures from their projections

Abstract

New Proofs are given for the known convergence of the additive and linear (i.e. unconstrained) ART algorithms. These algorithms belong to a class of methods for the reconstruction of digitized pictures from one-dimensional views which are used e. g. in x-ray tomography. Avoiding the detour of solving systems of inequalities, the first proof gives, simultaneously and in a very direct way, the convergence of both the additive and the linear algorithms. A second proof shows the geometric convergence of the linear algorithm by using elementary matrix algebra only.

Zusammenfassung

Für die bekannte Konvergenz des additiven und des linearen (unrestingierten) ART-Algorithmus werden neue Beweise gegeben. Die ART-Algorithmen gehören zu einer Klasse von Methoden für die Rekonstruktion von digitalen Bildern aus ihren Projektionen, Probleme, die z. B. in der Röntgentomographie auftreten. Unter Vermeidung des Umweges über die Lösung von Systemen von Ungleichungen wird hier ein sehr direkter und knapper simultaner Beweis für die Konvergenz des additiven und des linearen Algorithmus hergeleitet. Ein zweiter Beweis zeigt die geometrische Konvergenz des linearen Algorithmus, indem nur elementare Matrizenrechnung verwendet wird.