Zur Konvergenz des Iterationsverfahrens bei linearen Gleichungssystemen

Zusammenfassung

A, M undN seien reelle Matrizen undA=M−N. Es seienM undM−N(M ⁻¹ N)^k−1 für eink≧1 nichtsingulär. AusM′ y≧0 folge[N(M ⁻¹ N)^k−1]′y≧0. Dann folgt aus[M−N(M ⁻¹ N)^k−1]′y≧0 die Ungleichung[N(M ⁻¹ N)^k−1]′ y≧0 genau dann, wenn ϱ(M ⁻¹ N)<1 ist. (Der Strich bedeutet Übergang zur transponierten Matrix.) Die gleichen Aussagen bestehen, fallsA, M undN durchA′, M′ undN′ ersetzt werden. Diese Resultate sind Verallgemeinerungen von Ergebnissen, welche in [1] und [2] bewiesen wurden.

Abstract

LetA, M, N be real matrices, letA=M−N and letM andM−N(M ⁻¹ N)^k−1 for some integerk≧1 be non-singular. LetM′ y≧0 imply[N(M ⁻¹ N)^k−1]′ y≧0 (where the prime denotes the transpose). Then[M−N(M ⁻¹ N)^k−1]′ y≧0 implies[N (M ⁻¹ N)^k−1]′ y≧0 if and only if the spectral radius ϱ(M ⁻¹ N) ofM ⁻¹ N is less than one. The same conclusions are true ifA, M andN are replaced byA′, M′ andN′ respectively.