Nonlinear difference schemes for linear partial differential equations

Abstract

We discuss a nonlinear difference scheme for approximating the solution of the initial value problem for linear partial differential equations. At each time step of the calculation the method proceeds by processing the data and determining the best possible scheme to use for that step, according to an optimization criterion to be described. We show that the method is stable and convergent applicating it on the heat equation. In all cases considered the nonlinear method was more accurate than the classical methods.

Zusammenfassung

Wir legen ein nichtlineares Differenzenverfahren vor, das die Lösung des Anfangswertproblems für lineare partielle Differentialgleichungen approximiert. In jedem Zeitschritt der Rechnung wird das für diesen Schritt beste Differenzenverfahren erzeugt, und zwar auf Grund der dem Schritt zugehörenden Daten. Dies geschieht gemäß einem ausgewählten Optimisierungskriterium. Es wird gezeigt, daß die neue Methode stabil und konvergent ist, falls sie auf die Wärmegleichung angewandt wird. Numerische Rechnungen zeigen, daß das nichtlineare Verfahren genauere Ergebnisse liefert als klassische Methoden.