, Volume 23, Issue 1, pp 55–66 | Cite as

The collocation method for the numerical approximation of the periodic solutions of functional differential equations

  • A. Bellen


A collocation method with trigonometric trial functions is presented form-order non-linear functional differential equations with periodicity boundary conditions. In general, uniform approximation of an isolated solution and of its firstm−1 derivatives is achieved, while them-derivative is approximated in mean square. In some special cases we have also the uniform approximation of them-derivative. The solution of then-th non-linear collocation equation may be approximated by Newton's iteration with an arbitrary starting point belonging to a suitable neighbourhood of an isolated solution, for alln>n0 withn0 large enough.


Boundary Condition Differential Equation Periodic Solution Computational Mathematic Numerical Approximation 
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Die Kollokationsmethode für die numerische Approximation der periodischen Lösungen von Funktionaldifferentialgleichungen


Es wird eine Kollokationsmethode mit trigonometrischen Basisfunktionen für nicht lineare Funktionaldifferentialgleichungenm-ter Ordnung mit periodischen Randbedingungen vorgeschlagen. Allgemein wird eine gleichmäßige Approximation einer isolierten Lösung und ihrer erstenm−1 Ableitungen erhalten, während diem-te Ableitung nur im quadratischen Mittelwert approximiert wird. In einigen Spezialfällen bekommt man jedoch auch eine gleichmäßige Approximation derm-ten Ableitung. Für allen>n0, mit genügend großemn0, kann die Lösung dern-ten nichtlinearen Kollokationsgleichung durch die Newtonsche Iterationsmethode mit einer der isolierten Lösung genügend nahen Anfangsnäherung approximiert werden.


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  1. [1]
    Bouc, R.: Sur la méthode de Galerkin-Urabe pour les systèmes différentiels périodiques. Int. J. Nonlinear Mech.7, 175–188 (1972).CrossRefGoogle Scholar
  2. [2]
    Bouc, R.: Equations différentielles et fonctionelles non linéaire. Equa. Diff.73, 44–54. Paris: Hermann 1974.Google Scholar
  3. [3]
    Burkowski, F. J., Cowan, D. D.: The numerical derivation of a periodic solution of a second order differential difference equation. SIAM J. Numer. Anal.10, 489–495 (1973).CrossRefGoogle Scholar
  4. [4]
    Honig, C. S.: The Green function of a linear differential equation with lateral condition. Bull. Amer. Math. Soc.79, 587–593 (1973).Google Scholar
  5. [5]
    Invernizzi, S., Zanolin, F.: On the existence and uniqueness of periodic solutions of differential delay equations. Math. Z.163, 25–37 (1978).CrossRefGoogle Scholar
  6. [6]
    Krasnoselskii, M. A., et al.: Approximate solution of operator equations. Groningen: Wolters-Noordhoff 1972.Google Scholar
  7. [7]
    Natason, I. P.: Constructive theory of functions. Moscow: Gostekhizdat 1955. (English transl. AECT n. 4503.)Google Scholar
  8. [8]
    Oussalah, A.: Méthodes numériques pour la détermination de solutions périodiques d'équations différentielles périodiques à argument retardé. Thèse du doctorat, 1977.Google Scholar
  9. [9]
    Urabe, M.: Galerkin's procedure for non linear periodic systems. Arch. Ration. Mech. Anal.20, 120–151 (1965).CrossRefGoogle Scholar
  10. [10]
    Urabe, M., Reiter, A.: Numerical computation of non linear forced oscillation by Galerkin's procedure. J. Math. Anal. Appl.14, 107–140 (1966).Google Scholar
  11. [11]
    Vainikko, G.: The convergence of the collocation method for non-linear differential equations. Zh. vychisl. Mat. Fiz.6, 35–42 (1966).Google Scholar
  12. [12]
    Zygmund, A.: Trigonometric Series. Cambridge Univ. Press 1968.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1979

Authors and Affiliations

  • A. Bellen
    • 1
  1. 1.Istituto di MatematicaUniversità degli StudiTriesteItaly

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