Konvergenz von quadratischen Interpolations- und Flächenabgleichssplines

Zusammenfassung

In der Hauptsache wird gezeigt, daß quadratische Interpolationssplines ohne zusätzliche Voraussetzungen an das Splinegitter gegen die erzeugende Funktion konvergieren, sofern diese stetig ist. Dabei kann das Interpolationsgitter mit einem zwischen$1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ und$\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ gelegenen Teilungsverhältnis aus dem Splinegitter erzeugt werden. Im Falle von stetig differenzierbaren Funktionen, bei denen das Teilungsverhältnis sogar zwischen 0 und 1 gewählt werden kann, erhöht sich die Konvergenzordnung der zugehörigen Splines und wird bei zweimaliger Differenzierbarkeit voll ausgeschöpft. Analoge Resultate werden über die Konvergenz von Flächenabgleichssplines gewonnen.

Abstract

The purpose of this paper is to show that for continuous functions the related quadratic splines converge without any assumption on the spline grid. The points of the interpolatory grid can be chosen between the corresponding points of the spline grid with a division ratio from$\frac{{\sqrt 2 }}{2}$ to$1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$. In the case of continuously differentiable functions the division ratio can even be taken between 0 and 1; in addition, the order of convergence is increased. For twice differentiable functions the full order of convergence is obtained. Analogous results about the convergence of histo splines are proved.