The fast Fourier transform for general order

Abstract

An elementary and transparent representation of the fast Fourier transform is given. Instead of using the usual and highly algebraic approach it is shown how a Fourier transform of the ordern=p·m can be reduced top Fourier transforms of orderm by performing essentiallym Fourier transforms of orderp on the data. The resulting process is discussed in more detail forn=3 ^q andn=5 ^q. The problem of retrieval of the wanted coefficients from the final data is solved by a simple argument. The generalization for an ordern equal to a product of powers of prime numbers is immediate.

Zusammenfassung

Es wird eine elementare und durchsichtige Darstellung der schnellen Fouriertransformation gegeben. Anstelle des üblichen algebraischen Zugangs wird gezeigt, wie eine Fouriertransformation der Ordnungn=p·m aufp Fouriertransformationen je der Ordnungm zurückgeführt werden kann, indem im wesentlichenm Fouriertransformationen der Ordnungp auf die gegebenen Werte ausgeführt werden. Der resultierende Prozeß wird anschließend eingehend fürn=3 ^q undn=5 ^q diskutiert. Das Problem der richtigen Zuordnung der Schlußdaten zu den gesuchten Koeffizienten wird auf Grund einer einfachen Überlegung gelöst. Die Verallgemeinerung auf eine Ordnungn, welche als Produkt von Primzahlpotenzen darstellbar ist, liegt auf der Hand.