Remarks on composite integration methods for ordinary differential equations

Abstract

Convergence theorems for cyclic methods have been proved in the case of globally Lipschitz-continuous right-hand-sidesg for the differential equationy′=g(t, y). In the present paper it is shown that this strong restriction can be omitted. Moreover, a new definition for consistency of cyclic methods is pressented. The consistency conditions are weaker than the classical ones in the case of real cyclic methods (m>1). This leadsbesides order-of-convergence-arguments — to an additional motivation for the construction of cyclic methods, since more coefficients will be available for fitting other purposes and more methods can be shown to be convergent. Examples are given.

Zusammenfassung

Konvergenzsätze für zyklische Verfahren liegen vor, sofern die rechte Seite der Differentialgleichungy′=g(t, y) global Lipschitz-beschränkt ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß man sich von dieser stark einschränkenden Bedingung weitgehend befreien kann. Überdies wird eine neue Definition für die Konsistenz zyklischer Verfahren eingeführt. Die hier angegebenen Konsistenzbedingungen sind im Falle echt zyklischer Verfahren (m>1) schwächer als die klassischen Konsistenzforderungen. Neben Verfahrensordnungsargumenten ergibt sich dadurch eine zusätzliche Begründung für die Konstruktion zyklischer Verfahren, denn es werden mehr Koeffizienten zur Anpasung an andere Zwecke frei. Außerdem kann die Konvergenz weiterer Verfahren gezeigt werden. Beispiele werden angegeben.