A Greedy-heuristic for 3-partitioning with similar elements

Abstract

For a given list of 3m items with positive lengths we look for a partition intom subsets containing 3 elements each, such that the ratio of the largest sum of lengths to the smallest sum of lengths is as small as possible. Let ρ^G be the value of this ratio using a Greedy-heuristic and ρ^* the optimal value of this ratio; furthermore let β be the ratio of the largest length of an item to the smallest length. Then we will show that for 1≤β≤4 the inequality ρ^G/ρ^*≤(4β+7)(2β+5) holds and this bound is tight.

Zusammenfassung

Für eine Liste von 3m Elementen von positiver Länge suchen wir eine Partition inm Teilmengen, die jeweils 3 Elemente enthalten, so daß der Quotient der größten Längensumme zur kleinsten Summe so klein wir möglich wird. Sei ρ^G der Wert dieses Quotienten, den man bei Benutzung einer Greedy-Heuristik erhält und ρ^* der optimale Wert dieses Quotienten; weiterhin sei β der Quotient der größten Länge eines Elements zur kleinsten Länge. Wir zeigen, daß für 1≤β≤4 die Ungleichung ρ^G/ρ^*≤(4β+7)(2β+5) gilt und daß diese Schranke scharf ist.