Converging multistep methods for initial value problems involving multivalued maps

Abstract

Every consistent and strongly stable multistep method of stepnumberk yields a solution, of the setvalued initial value problem$\dot y \in F(t,y),y(t_0 ) = y_0$. The setF(t, z) is assumed to be nonvoid, convex and closed. Upper semicontinuity of F with respect to both variables is not required everywhere. If the initial value problem is uniquely solvable, the solutions of the multistep method will converge to the solution of the continuous problem. These results carry over to functional differential equations$\dot y \in F(t,M_t y)$ of Volterra type and to discontinuous problems$\dot y(t) = f(t,M_t y)$ in the sense of A.F. Filippov. A difference method is applied to the discontinuous delay equation$\ddot x(t) + 2D\dot x(t) + \omega ^2 x(t) = = - \operatorname{sgn} (x(t - \tau ) + \dot x(t - \tau ))$. In the limit τ→0 we obtain results for the problem$\ddot x + 2D\dot x + \omega ^2 x = = - \operatorname{sgn} (x + \dot x)$ which cannot be solved classically everywhere.

Zusammenfassung

Jedes konsistentek-Schrittverfahren, das stark stabil ist, liefert eine Lösung der mehrwertigen Anfangswertaufgabe$\dot y \in F(t,y),y(t_0 ) = y_0$. Dabei muß die MengeF(t, z) nichtleer, konvex und abgeschlossen sein. Die FunktionF braucht nicht für alle (t, z) halbstetig nach oben zu sein. Besitzt die Anfangswertaufgabe nur eine Lösung, dann konvergieren die Lösungen der Mehrschrittverfahren gegen die Lösung der Anfangswertaufgabe. Die genannten Ergebnisse übertragen sich auch auf Volterra-Funktionaldifferentialgleichungen$\dot y \in F(t,M_t y)$ und auf unstetige Aufgaben im Sinne von A. F. Filippov. An der unstetigen Aufgabe mit nacheilendem Argument$\ddot x(t) + 2D\dot x(t) + \omega ^2 x(t) = - \operatorname{sgn} (x(t - \tau ) + \dot x(t - \tau ))$ wird eine Differenzenverfahren erprobt, und der Übergang zur nicht überall klassisch lösbaren Aufgabe$\ddot x + 2D\dot x + \omega ^2 x = - \operatorname{sgn} (x + \dot x)$ aufgezeichnet.