Average time behavior of distributive sorting algorithms

Abstract

In this paper we investigate the expected complexityE(C) of distributive (“bucket”) sorting algorithms on a sampleX ₁, ...,X _n drawn from a densityf onR ¹. Assuming constant time bucket membership determination and assuming the use of an average timeg(n) algorithm for subsequent sorting within each bucket (whereg is convex,g(n)/n↑∞,g(n)/n ² is nonincreasing andg is independent off), the following is shown:

• 1) Iff has compact support, then ∫g(f(x))dx<∞ if and only ifE(C)=0(n).

• 2) Iff does not have compact support, then$E(C)/n\xrightarrow{n}\infty$.

No additional restrictions are put onf.

Zusammenfassung

Wir untersuchen die mittlere KomplexitätE(C) von Fachsortier-Algorithmen, die auf eine StichprobeX ₁, ...,X _n mit der Verteilungsdichtef aufR ¹ angewendet werden. Wir nehmen an, daß die Zeit zur Bestimmung des Sortierfachs konstant ist, und daß für die Sortierung innerhalb jedes Fachs ein Algorithmus mit dem mittleren Zeitbedarfg(n) zur Verfügung steht. Dabei istg konvex,g(n)/n↑∞,g(n)/n ² nichtsteigend undg unabhängig vonf. Wir zeigen:

• 1) Wennf kompakten Träger hat, dann gilt ∫g(f(x))dx<∞ genau dann, wennE(C)=0(n).

• 2) Wennf keinen kompakten Träger hat, dann gilt$E(C)/n\xrightarrow{n}\infty$.

Überf benötigen wir keinerlei weitere Voraussetzungen.