Efficient algorithms for volterra integral equations of the second kind

Abstract

Spline function of degreem, deficiencyJ−1, i. e. inC ^m−J, are used in conjunction with (Gaussian) quadrature rules to construct algorthms for the numerical solution of a general Volterra integral equation of the second kind. For a givenm, the method is of order (m+1) and, in general, requires 0(N) evaluations of the kernel. This is in sharp contrast to the 0(N ²) evaluations required by hitherto known methods.

It is shown that the method for spline functions with full continuity (J=1) is numerically unstable for allm>2. However, stability is established forJ=m, m−1, for allm. Furthermore, form=3,J=1, it is demonstrated that by appropriately modifying the original method, a whole family of stable methods is obtained.

Zusammenfassung

Zur Konstruktion von Algorithmen zur numerischen Lösung einer allgemeinen Volterraschen Integralgleichung zweiter Art werden Splinefunktionen vom Gradem und der DefizienzJ−1, d. h. inC ^m−J, zusammen mit Gaußschen Quadraturformeln benutzt. Die Methode ist, für gegebenesm, von der Ordnung (m+1), und sie erfordert im allgemeinen 0(N) Auswertungen des Kerns. Die bisher bekannten Methoden erfordern 0(N ²) Auswertungen.

Es wird gezeigt, daß die Methode für Splinefunktionen mit voller Stetigkeit (J=1) numerisch instabil ist für allem>2. Dagegen wird die Stabilität bewiesen fürJ=m, m −1 undm beiliebig. Weiter wird fürm=3,J=1 gezeigt, daß bei geeigneter Modifikation der ursprünglichen Methode eine ganze Familie stabiler Methoden gewonnen werden kann.