Continuity and condition of the linear approximation problem I

Abstract

The dependence of a best approximation on the domain of definition has not been studied so far for problems involving approximations by non-Chebychev spaces. Two simple examples are given which show that the approximation problem may not be well-conditioned (not even continuous) in this case. The examples also suggest that by a slight modification in the formulation of the problem the inherent ill-conditioning can be eliminated. This leads to the consideration of best ε-approximations.

Zusammenfassung

Die Abhängigkeit einer besten Approximierenden vom Definitionsbereich für Approximationen durch nicht-Chebychev Räume scheint bis jetzt nicht untersucht worden zu sein. Es werden zwei einfache Beispiele gegeben, die zeigen, daß in diesem Fall das Approximationsproblem, im allgemeinen, nicht gut konditioniert ist (nicht einmal stetig). Die Beispiele deuten an, wie man das Problem umformulieren kann, so daß die inhärente Unstetigkeit eliminiert wird. Dies führt zur Betrachtung von besten ε-Approximationen.