Skip to main content
SpringerLink
Log in

A programmed algorithm for existence proofs for two-point boundary value problems

Ein programmierter Algorithmus zum Existenzbeweis für Zweipunkt-Randwertaufgaben

  • Published:
Computing Aims and scope Submit manuscript

Abstract

For (scalar) nonlinear two-point boundary value problems of the second order, we present a programmed algorithm for proving the existence of a solution within calculated bounds. This algorithm is based on the theory of (functional-) differential inequalities applied to certain transformed problems.

Zusammenfassung

Für (skalare) nichtlineare Zweipunkt-Randwertaufgaben zweiter Ordnung wird ein programmierter Algorithmus vorgestellt, mit dem die Existenz einer Lösung innerhalb berechneter Schranken bewiesen werden kann. Der Algorithmus basiert auf der Theorie der (Funktional-) Differentialungleichungen, welche auf gewisse transformierte Probleme angewendet wird.

This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.

Access this article

Log in via an institution

Price excludes VAT (USA)
Tax calculation will be finalised during checkout.

Instant access to the full article PDF.

Institutional subscriptions

Similar content being viewed by others

References

  1. Bleher, J. H., Rump, S. M., Kulisch, U., Ullrich, Ch., Walter, W.: FORTRAN-SC, A Study of a FORTRAN Extension for Engineering/Scientific Computation with Access to ACRITH. Computing39, 93–110 (1987).

    Google Scholar 

  2. de Boor, C.: A Practical Guide to Splines. Berlin-Heidelberg-New York: Springer 1978.

    Google Scholar 

  3. Collatz, L.: Aufgaben monotoner Art. Arch. Math.3, 366–376 (1952).

    Article  Google Scholar 

  4. Collatz, L.: The Numerical Treatment of Differential Equations. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer 1960.

    Google Scholar 

  5. Cruickshank, D. M., Wright, K.: Computable Error Bounds for Polynomial Collocation Methods. SIAM J. Numer. Anal. 15, 134–151 (1978).

    Article  Google Scholar 

  6. Ehlich, H., Zeller, K.: Schwankung von Polynomen zwischen Gitterpunkten. Math. Z.86, 41–44 (1964).

    Article  Google Scholar 

  7. Gärtel, U.: Fehlerabschätzungen für vektorwertige Randwertaufgaben zweiter Ordnung, insbesondere für Probleme aus der chemischen Reaktions-Diffusions-Theorie. Dissertation Köln 1987.

  8. Großmann, Ch., Krätzchmar, M., Roos, H.-G.: Gleichmäßig einschließende Diskretisierungsverfahren für schwach nichtlineare Randwertaufgaben. Numer. Math.49, 95–110 (1986).

    Article  Google Scholar 

  9. Großmann, Ch., Al-Zanaidi, M.: Monotone Iteration Discretization Algorithm for BVP's. Computing41, 59–74 (1989).

    Google Scholar 

  10. IBM High-Accuracy Arithmetic Subroutine Library (ACRITH). Program Description and User's Guide, SC 33-6164-02, 3rd Edition (1986).

  11. Kaucher, E. W., Miranker, W. L.: Self-Validating Numerics for Function Space Problems. Academic Press, New York 1984.

    Google Scholar 

  12. Kedem, G.: A Posteriori Error Bounds for Two-Point Boundary Value Problems. SIAM J. Numer. Anal.18, 431–448 (1981).

    Article  Google Scholar 

  13. Küpper, T.: Einschließungsaussagen für gewöhnliche Differentialoperatoren. Numer. Math.25, 201–214 (1976).

    Article  Google Scholar 

  14. Küpper, T.: Einschließungsaussagen bei Differentialoperatoren zweiter Ordnung durch punktweise Ungleichungen. Numer. Math.30, 93–101 (1978).

    Article  Google Scholar 

  15. Kulisch, U.: FORTRAN-SC, Language Reference and User's Guide. University of Karlsruhe and IBM Development Laboratory Böblingen 1987.

  16. Kulisch, U., Miranker, W. L. Computer Arithmetic in Theory and Practice. Academic Press, New York 1981.

    Google Scholar 

  17. Lohner, R., Adams, E.: Einschließung der Lösung gewöhnlicher Anfangs- und Randwertaufgaben. ZAMM64, T295-T297 (1984).

    Google Scholar 

  18. Lohner, R.: Einschließung der Lösung gewöhnlicher Anfangs- und Randwertaufgaben und Anwendungen. Dissertation Universität Karlsruhe 1988.

  19. McCarthy, M. A., Tapia, R. A.: Computable a posterioriL ∞-Error Bounds for the Approximate Solution of Two-Point Boundary Value Problems. SIAM J. Numer. Anal.12, 919–937 (1975).

    Google Scholar 

  20. Nickel, K.: The Construction of a priori Bounds for the Solution of a Two-Point Boundary Value Problem with Finite Elements I. Computing23, 247–265 (1979).

    Google Scholar 

  21. Ruttmann, B.: Untersuchungen zur Fehlerabschätzung von polynomialen Näherungslösungen bei Randwertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen. Dissertation Universität Köln 1982.

  22. Schröder, J.: Operator Inequalities. Academic Press 1980.

  23. Schröder, J.: Existence proofs for boundary value problems by numerical algorithms. Report Univ. Cologne 1986.

  24. Schröder, J.: A method for producing verified results for two-point boundary value problems. Computing, Suppl.6, 9–22 (1988).

    Google Scholar 

Download references

Author information

Authors and Affiliations

  1. Mathematisches Institut, Universität Köln, Weyertal 86-90, D-5000, Köln 41, Federal Republic of Germany

    M. Göhlen, M. Plum & J. Schröder

Authors
  1. M. Göhlen
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

  2. M. Plum
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

  3. J. Schröder
    View author publications

    You can also search for this author in PubMed Google Scholar

Rights and permissions

Reprints and permissions

About this article

Cite this article

Göhlen, M., Plum, M. & Schröder, J. A programmed algorithm for existence proofs for two-point boundary value problems. Computing 44, 91–132 (1990). https://doi.org/10.1007/BF02241862

Download citation

  • Received:

  • Issue Date:

  • DOI: https://doi.org/10.1007/BF02241862

AMS Subject Classifications

Key words

Search

Navigation