Zusammenfassung
Es werden Randwertprobleme für Differentialgleichungen betrachtet, die Eulergleichungen eines Variationsproblems sind, das zusätzlich ein Wegintegral über den Rand des ebenen Gebietes enthält. Für ein diskretes Analogon des Variationsproblems wird die Existenz einer eindeutigen Lösung bewiesen sowie für gleichmäßig elliptische Probleme die diskrete Konvergenz der Näherungslösung bei Verfeinerung des Gitters gegen die Lösung des kontinuierlichen Problems. Mit Hilfe der angegebenen Diskretisierung und des SOR-Newton-Verfahrens wird die Form einer Kapillarfläche näherungsweise berechnet.
Abstract
We consider boundary-value problems for differential equations, which are the Euler-Lagrange-equation of a variational problem that contains an additional integral along the boundary of the plane domain. For a discrete analogue of the variational problem we prove the existence of a unique solution and the discrete convergence of this solution to the solution of the continuous problem if the width of the mesh is refined. The shape of a capillary surface is computed using the given discretization and the SOR-Newton-algorithm.
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Mittelmann, H.D. Die Approximation der Lösungen gemischter Randwertprobleme quasilinearer elliptischer Differentialgleichungen. Computing 13, 253–265 (1974). https://doi.org/10.1007/BF02241719
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