Ein Iterationsverfahren zur Lösung spezieller nichtlinearer Randwertprobleme

Zusammenfassung

Bei der numerischen Lösung der nichtlinearen OperatorgleichungT(x)=θ stellt sich die Aufgabe, geeignete Startlösungen für den Ansatz von Iterationsverfahren zu finden. Für spezielle Problemkreise-man denke etwa an Gleichungen mit gewissen Monotonieeigenschaften — kann man sich eine solche verschaffen. Für allgemeinere Problemklassen stellt die Methode der Einbettung eine systematische Möglichkeit zur Konstruktion passender Startlösungen dar.

Die gestellte AufgabeT(x)=θ wird in eine ProblemscharT(s, x)=θ mits∈[0,1] eingebettet. Fürs=0 sie die zugehörige Lösung numerisch leicht zugänglich, fürs=1 ergebe sich das ursprüngliche Problem. Die Einbettung ist so vorzunehmen, daß die Lösung der Schar stetig vom Parameters abhängt. Man berechnet nun, ausgehend von der Lösung fürs=0, die Lösung für die Stufens ₁<s ₂...<s _n =1. Dabei wirdx(S _i-1) als Statlösung zur Berechnung vonx (s _i) benützt.

Für die Klasse der Integrodifferentialgleichungen mit Urysonoperator wird dies im einzelnen durchgeführt. Dabei wird auch das Problem der Verzweigung (Bifurkation) behandelt.

Unter anderem ergibt sich beispielsweise, daß unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes das Newtonverfahren stufenweise konvergiert. Dies ist i. a., das heißt ohne Zwischenschalten von Stufen, nicht der Fall. Bei eindimensionalen Problemen werden scharfe Schranken für Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen hergeleitet. Es läßt sich zeigen, daß für bestimmte Diskretisierung eine asymptotische Entwicklung der diskretisierten Lösung existiert.

Summary

The numerical solution of a nonlinear operator equation arises the question of finding suitable initial solutions. For general classes of problems the method of “continuation” (“Einbettung”) gives a systematical means to construct such starting values.

The given problemT(x)=θ is inbedded in a family of ProblemsT(s, x)=θ wheres∈[0,1]. These problems should have a simple solution fors=0; fors=1T(s, x)=θ must represent the original problem. The solution of the family has to depend continously on the parameters. Starting withs=0 one constructs succesively the solutions fors ₁<s ₂...<s _n=1.x (s _i-1) is used as an inital value for the evaluation ofx(s _i).

This method is used to solve a special class of integro-differential equations with Urysonoperator. Hereby, the problem of bifurcation is discussed, too.

Under the conditions of Banach's fixed point theorem one can show that Newton's iterative method converges stepwise. Without using steps this is not true in general.

For one dimensional problems sharp estimations for existence and uniqueness are established. For certain discretisations there exists an asymptotic development of the discreticized solution.