Smooth approximation of data on the sphere with splines

Abstract

A computable function, defined over the sphere, is constructed, which is of classC ¹ at least and which approximates a given set of data. The construction is based upon tensor product spline basisfunctions, while at the poles of the spherical system of coordinates modified basisfunctions, suggested by the spherical harmonics expansion, are introduced to recover the continuity order at these points. Convergence experiments, refining the grid, are performed and results are compared with similar results available in literature.

The approximation accuracy is compared with that of the expansion in terms of spherical harmonics. The use of piecewise approximation, with locally supported basisfunctions, versus approximation with spherical harmonics is discussed.

Zusammenfassung

Wir konstruieren eine berechenbare Funktion, die auf der Kugeloberfläche definiert und mindestensC ¹ ist und die eine vorgegebene Datenmenge approximiert. Die Konstruktion beruht auf Tensorprodukt-Spline-Basisfunktionen; an den Polen des sphärischen Koordinatensystems benutzen wir modifizierte Basisfunktionen in Analogie zu sphärischen harmonischen Entwicklungen, um die Glattheit an diesen Stellen zu bewahren. Konvergenzexperimente mit Verfeinerung der Gitter wurden durchgeführt und die Ergebnisse mit ähnlichen in der Literatur verglichen.

Die Verwendung stückweiser Approximationen mit lokalen Basisfunktionen wird der Approximation mit sphärischen Harmonischen gegenübergestellt und die Approximationsgüten werden verglichen.