New upper and lower bounds for the eigenvalues of the Sturm-Liouville problem

Abstract

We derive new inequalities for the eigenvaluesλ _k of the Sturm-Liouville problem−u″+qu=λu, u(0)=u(π)=0 under the usual hypothesis thatq has mean value zero. The estimates give upper and lower bounds of the form |λ _k −k ²|≤p _1,m k ^−m+P _2,m k ^2m,k ²≥3‖q‖ _m ,m=1, 2 where ‖q‖ _m is the norm ofq in a Sobolev spaceH ^m (0, π) and theP's are homogeneous polynomials of degree at most 3 in ‖q‖ _m . Such bounds are used in the analysis of the inverse Sturm-Liouville problem.

Zusammenfassung

Für die Eigenwerteλ _k des Sturm-Liouville-Problems−u″+qu=λu, u(0)=u(π)=0 werden neue obere und untere Schranken der Form |λ _k −k ²|≤p _1,m k ^−m+P _2,m k ^2m,k ²≥3‖q‖ _m ,m=1, 2, hergeleitet. Dabei ist ‖q‖ _m die Norm vonq im SobolevraumH ^m(0, π) und dieP sind homogene kubische Polynome in ‖q‖ _m . Solche Schranken finden in der Analyse des inversen Sturm-Liouville-Problems Verwendung.