A direct simulation Monte Carlo scheme and uniformly distributed sequences for solving the Boltzmann equation

Abstract

The Direct Simulation Monte Carlo (DSMC) scheme of Nanbu is considered for the solution of the Boltzmann equation in a simplified case. It is interpreted as a one-step method using particles combined with numerical quadratures after each step. A modified scheme in which the particles are ordered after each step is proposed. It is called the Low Discrepancy (LD) method. The error of the LD method is defined as the discrepancy of the set of particles relative to the exact solution. This error is estimated by means of other discrepancies, namely those of the sequences which perform the quadratures. The replacement of pseudo-random numbers used in the quadratures by uniformly distributed sequences is consequently suggested. Numerical comparisons are given between the DSMC scheme and the LD method that repeatedly uses the Hammersley sequence in the quadratures (LDH method).

Zusammenfassung

Es wird das direkte Monte-Carlo-Simulationsverfahren (DSMC) von Nanbu betrachtet, um die Boltzmann-Gleichung in einem vereinfachten Fall zu lösen. Das Verfahren wird als eine Einschrittmethode mit Teilchen interpretiert, die nach jedem Schritt mit Quadraturen kombiniert wird. Es wird ein modifiziertes Verfahren vorgeschlagen, in dem die Teilchen nach jedem Schritt angeordnet werden. Es heißt die niedrige Diskrepanz-Methode (LD). Der Fehler der LD-Methode wird als die Diskrepanz der Menge der Teilchen bezüglich der exakten Lösung definiert. Die Abschätzung der Fehler erfolgt dabei über die Diskrepanzen der Folgen, die die Quadraturen generieren. Es wird folglich vorgeschlagen, die Pseudozufallszahlen in den Quadraturen durch gleichverteilte Folgen zu ersetzen. Es werden numerische Vergleiche zwischen dem DSMC-Verfahren und der niedrigen Diskrepanz-Methode, die mehrmals die Folge von Hammersley benutzt (LDH-Methode), angegeben.