An algorithm for locating all zeros of a real polynomial

Abstract

We present a globally convergent algorithm for calculating all zeros of a polynomialp _n ,p _n (z) = ∑ ⁿ _{v = 0} a _v z ^v, with real coefficients. Splittingp _n (exp(it)) into its real and imaginary part we can decide via Euclidean division of Chebyshev expansions and Sturm sequence argumentations whetherp _n has some zeros on the unit circle and how many zeros lie on the boundary and in the interior of it. Hence, by a bisection strategy we get the moduli of all zeros to a prescribed accuracy, and additionally we find the arguments as real zeros of a low degree polynomial. In this way we generate starting approximations for all zeros which in a final step are refined by an iterative process of higher order of convergence (e.g. Newton's or Bairstow's method).

Zusammenfassung

Wir stellen einen global konvergenten Algorithmus zur Berechnung aller Nullstellen eines Polynomsp _n ,p _n (z) = ∑ ⁿ _{v = 0} a _v z ^v, mit reellen Koeffizienten vor. Durch Aufspalten vonp _n (exp(it)) in seinen Real-und Imaginärteil können wir mittels Euklidischer Division von Čebyševentwicklungen und durch Argumentation mit Sturmschen Ketten entscheiden, obp _n Nullstellen im Einheitskreis hat und wie viele Nullstellen auf dem Rand und im Inneren davon liegen. Somit erhalten wir mittels einer Bisektionsstrategie die Beträge aller Nullstellen bis auf eine vorgegebene Genauigkeit, und zusätzlich finden wir die Argumente als reelle Nullstellen eines Polynoms niedrigen Grades. Auf diese Weise erzeugen wir Startnäherungen für alle Nullstellen, die in einem letzten Schritt mittels eines iterativen Prozesses höherer Konvergenzordnung verbessert werden (z.B. Newton- oder Bairstowverfahren).