Ein Einschließungssatz zum Knapsack-Roblem

Zusammenfassung

Für das beim Knapsack-Problem (im engeren Sinne) zu bestimmende Maximum der Zielfunktion kann man aus den gegebenen Koeffizienten und der Restriktionsgrenze leicht eine obere Schranke gewinne, mit deren Hilfe der Fehler jeder Näherungslösung abgeschätzt werden kann. Die Einfachheit der Abschätzung gestattet es, auch sehr viele Fälle, wie sie sich z. B. bei der parametrischen Optimierung ergeben, mit erträglichem Rechenaufwand zu behandeln.

Anhand eines Zahlenbeispiels mit 36 Variablen wird demonstriert, wie man mit Hilfe der Schranke die Abhängigkeit des Zielfunktionsmaximums von der Restriktionsgrenze näherungsweise bestimmen und damit eine wesentliche Aussage über die Lösungen der beiden folgenden Aufgaben erhalten kann:

• - Restriktionsgrenze (z. B. verfügbare Investitionsmittel) gegeben, Zielfunktionsmaximum (maximal erzielbarer Gewinn) gesucht,

• - Zielfunktionsmaximum (z. B. geforderter Mindestgewinn) gegeben, Restriktionsgrenze (erforderliche Investitionsmittel) gesucht.

Bei der Ermittlung der oberen Schranke erhält man nebenher auch eine Näherungslösung, die eventuell schon ausreichend genau ist.

Abstract

For the Knapsack-Problem an upper bound for the objectiv-function-maximum can be calculated easily with the given coefficients and the restriction-constant. With this upper bound an error-estimation is also obtained for each approximation of the wanted maximum. The simplicity of this estimation allows the calculation of a great number of such approximations without much calculating time (for example in the parametric optimization).

Thus the connection between the restriction-constant and the objective-function-maximum can be approximatively determined (see the example with 36 variables), so that an essential information concerning the following two problems is given:

• - find the objective-function-maximum (e.g. the attainable profit) by given restriction-constant (investable capital),

• - find the restriction-constant (e.g. necessary investement) by given objectiv-function-maximum (demanded smallest profit).

Moreover in calculating the upper bound an approximative solution of the Knapsack-Problem is obtained.