Approximation der erweiterten Intervallarithmetik durch die einfache Maschinenintervallarithmetik

Zusammenfassung

In einer früheren Arbeit [2] wurden Eigenschaften einer sogenannten einfachen und erweiterten Intervallarithmetik gegenübergestellt. Für Intervallfunktionen liefert die erweiterte Intervallarithmetik die exakten Ergebnisintervalle. Sie ist jedoch auf einer Rechenanlage kaum direkt realisierbar. Demgegenüber liefert die einfache Intervallarithmetik nur grobe Abschätzungen der exakten Ergebnisintervalle. Sie läßt sich aber auf einer Rechenanlage einfach ausführen.

Im Anschluß an [2] bringen die ersten drei Abschnitte der vorliegenden Arbeit weitere grundlegende Begriffe und Sätze. Im zweiten Abschnitt wird u. a. ein Stetigkeitssatz bewiesen. Der vierte Abschnitt bringt ein Verfahren zur Approximation der von der erweiterten Intervallarithmetik gelieferten Ergebnisintervalle mit Hilfe der einfachen Intervallarithmetik. Im fünften Abschnitt werden Eigenschaften der Realisierung dieses Verfahrens auf einer Rechenanlage behandelt.

Summary

In a previous paper [2] basic properties of a “simple and an extended interval arithmetic” were studied. For interval functions the extended interval arithmetic gives exact resulting intervals. On a computer, however, this interval arithmetic is almost impossible to realize. On the other hand the simple interval arithmetic in general gives wider intervals than the actual ones. But it is easily realized on a computer.

As a continuation of [2] the first three sections of this paper deal with further fundamental concepts and theorems. In section 2 among others a continuity theorem for the simple and extended interval arithmetic is proved. In section 4 we approximate the resulting intervals of the extended interval arithmetic by a procedure using the simple interval arithmetic. Section 5 handles the properties of this procedure when it is realized on a computer.