Über die Approximation asymptotischer Entwicklungen I

Zusammenfassung

Für einige Typen linearer homogener Differentialgleichungen werden an Stelle der asymptotischen Entwicklungen für große Werte der unabhängigen Variablenx Approximationen im gleichmäßigen Sinne aus der Differentialgleichung heraus entwickelt. Im vorliegenden ersten Teil werden Lösungen mit exponentiellem Abklingen untersucht. Man erhält exakte Aussagen über die Abweichung von der besten Approximation durch Polynome inx ⁻¹ und numerisch günstige Näherungen, die zur Aufstellung von Unterprogrammen benutzt werden können. Am Beispiel der Gaußschen Normalverteilung wird das Verfahren explizit durchgeführt.

Summary

For some types of linear homogeneous differential equations approximations in the uniform sense (instead of asymptotic expansions) for large values of the independent variable are derived. In this first part only solutions with a decreasing exponential factor are considered. Exact statements concerning the deviation from the best approximation by polynomials inx ⁻¹ and good numerical approximations as to be used in setting up subroutines for digital computers are obtained. As an example serves the normal distribution of Gauss.