Summary
Most of the numerical schemes commonly used for solving the scalar advection equation are not simultaneously: positive definite, high accurate, mass conserving and monotone. Semi Lagrangian numerical schemes derived by van Leer [1977a, b] and Colella and Woodward [1984], which were developed for compressible flow problems, seem to have the potential in fulfilling these conditions, all at the same time. In order to assess their qualities for the scalar advection problems, three of the most accurate schemes have been selected and subjected to some standard test cases. The test results are compared with the test results obtained for two well known numerical schemes: the Second Moment Method (SMM) (Egan and Mahoney [1972]) and the Multidimensional Flux Corrected Transport (MFCT) (Zalesak [1979], [1981]). Before discussing the test results, the schemes are derived following a generalized approach.
After discussion of the results, various aspects of the schemes are then highlighted leading to recommendations for the application of the numerical schemes in practice.
Zusammenfassung
Die meisten der numerischen Verfahren, die gewöhnlich zur Lösung einer Advektionsgleichung für skalare Größen benutzt werden, sind nicht simultan; wobei unter simultan positiv definit, hohe Genauigkeit, massenerhaltend und monoton verstanden wird. Halb-Lagrangesche numerische Verfahren (van Leer [1977a, b]; Colella und Woodward [1984]), die entwickelt wurden für Strömungsprobleme kompressibler Flüssigkeiten, scheinen die Eigenschaft zu haben, all diese Bedingungen gleichzeitig zu erfüllen. Drei der genauesten Verfahren wurden ausgewählt und waren Gegenstand der Untersuchung für einige Standardtests, um ihre Eigenschaften beim Problem der Advektion skalarer Größen abzuschätzen. Die Testergebnisse werden verglichen mit Ergebnissen zweier bekannter numerischer Verfahren: „Second Momentum Method” (SMM) (Egan und Mahoney [1972]) und „Multidimensional Flux Corrected Transport” (MFCT) (Zalesak [1979], [1981]). Vor der Diskussion der Testergebnisse wurden die Verfahren mit einer generalisierten Methode hergeleitet.
Nach der Diskussion der Testergebnisse werden die verschiedenen Aspekte der Verfahren beleuchtet und eine Empfehlung für die praktische Anwendung der numerischen Verfahren ausgesprochen.
Résumé
La plupart des solutions numériques qui sont utilisées pour résoudre l'équation d'advection d'un scalaire ne répondent pas simultanément à l'ensemble des conditions requises: définie, positive, grande précision, monotone, conservation de la masse. Les schémas numériques semi Lagrangiens développés par van Leer [1977a, b] et Colella et Woodward [1984] pour résoudre les problèmes de flux en milieu compressible semblent pouvoir réunir en même temps toutes les conditions citées ci-dessus. Pour pouvoir les évaluer face aux problèmes de l'advection d'un scalaire, trois des schémas les plus précis ont été sélectionnés et soumis à des tests standards. Les résultats de ces tests sont comparés avec les résultats obtenus à partir de deux schémas bien connus: “The Second Moment Method” (SMM) (Egan et Mahoney [1972]) et le “Multidimensional Flux Corrected Transport” (MFCT) (Zalesak [1979], [1981]). Avant de discuter des résultats des tests les schémas sont établis en utilisant une approche générale.
Après commentaires sur ces résultats, différents aspects des schémas proposés sont alors repris pour mettre en lumière des recommandations concernant leur mise en oeuvre pratique.
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Vatvani, D.K., Montazeri, M. Performance of some high accurate semi Lagrangian numerical schemes for the scalar advection equation. Deutsche Hydrographische Zeitschrift 42, 279–305 (1989). https://doi.org/10.1007/BF02226299
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