On the divergence of Lagrange interpolation processes on a set of second category

Abstract

В статье даны полные д оказательства следу ющих утверждений. Пустьω — непрерывная неубывающая полуадд итивная функций на [0, ∞),ω(0)=0 и пусть M⊂[0, 1] — матрица узл ов интерполирования. Если

$$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \omega \left( {\frac{1}{n}} \right)\log n > 0$$

то существует точкаx ₀∈[0,1] и функцияf ∈ С[0,1] таки е, чтоω(f, δ)=О(ω(δ)), для которой

$$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } |L_n (\mathfrak{M},f,x_0 ) - f(x_0 )| > 0$$

Если же

$$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } \omega \left( {\frac{1}{n}} \right)\log n = \infty$$

, то существуют множес твоE второй категори и и функцияf ∈ С[0,1],ω(f, δ)=o(ω(δ)) та кие, что для всехx∈E

$$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } |L_n (\mathfrak{M},f,x)| = \infty$$

.

Исправлена погрешно сть, допущенная автор ом в [5], и отмеченная в работе П. Вертеши [9].