Sommario
Con riferimento a strutture discretizzate idealmente elastoplastiche, soggette a dati carichi e distorsioni, si mostra che nell'ipotesi di olonomia dei legami costitutivi o di assenza di “ritorni elastici”, la formulazione del problema strutturale negli sforzi finiti (non incrementali) è riducibile alle condizioni di Kuhn e Tucker di un programma quadratico. Se ne deducono direttamente una forma generalizzata del principio di Haar e Kármán ed un teorema di estremo negli spostamenti e nelle deformazioni plastiche, duale al precedente. Dai due teoremi discendono come casi speciali noti principi variazionali, che cosi risultano collegati in coppie dalla nozione di dualitá propria della teoria delle ottimizzazioni.
Si mostra come anche i teoremi statico e cinematico del calcolo a rottura trovano una nuova dimostrazione nell'inquadramento teorico unitario fondato sulla programmazione quadratica.
Summary
For elastic perfectly plastic discretized structures acted upon by given loads and dislocations, it is shown, under holonomic constitutive laws or no local unloading hypothesis, that the formulation of the analysis problem in terms of finite (not incremental) stresses, is amenable to the Kuhn-Tucker conditions of a quadratic program. Then it is readily derived a generalized form of the principle of Haar and Kármán, together with an extremum theorem for displacements and plastic strains, which is the dual of the preceding one. As special cases of this theorems known variational principles follow, which thus turn out to be related in pairs by the duality notion as understood in programming theory. Also the statical and kinematical theorems of limit analysis are proved by means of the unitary conceptual framework supplied by quadratic programming.
This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
References
G. Maier,A quadratic programming approach for certain nonlinear structural problems, Meccanica, no. 2, 1968.
G. Maier,Some theorems for plastic strain rates and plastic strains, Journal de Mécanique, no. 1, 1969.
H. P. Künzi andW. Krelle,Nichtlineare Programmierung, Springer Verlag, Berlin, 1962. (Engl. transl.:Nonlinear programming, Blaisdell Pub., Waltham, 1966).
J. C. G. Boot,Quadratic programming, North-Holland Pub., Amsterdam, 1964.
L. Collatz andW. Wetterling,Optimierungsaufgaben, Springer Verlag, Berlin, 1966.
G. Hadley,Nonlinear and dynamic programming, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1964.
L. Contri,Del teorema di Haar e Kármán in presenza di scarichi locali, Giorn. Genio Civ., no. 1, 1960.
K. A. Reckling,Plastizitatstheorie und ihre Anwendung auf Festigkeitprobleme, Springer Verlag, Berlin, 1967.
B. Finzi,Principio variazionale nella meccanica dei continui, Atti R. Accad. d'Italia, Cl. Scienze. Fis. Mat. Nat., Serie VII, Vol. I, 1940.
G. Maier,A method for approximate solution of stationary creep problems, to appear in Meccanica.
H. W. Kuhn andA. W. Tucker,Nonlinear programming, Proc. II Berkeley Symp. on Math. Stat. and Prob., Ed. J. Neymans, Los Angeles, 1951.
A. Haar, andT. von Karman,Zur Theorie der Spannungzustande in plastischen und sandartigen Medien, Göttinger Nachrichten, Math. Phys. K., 204, 1909.
W. Prager andP. S. Symonds,Stress analysis in elastic plastic structures, Proc. III Symp. Appl. Math., Ann. Arbor, Michigan, 1949.
V. Franciosi,Sul calcolo a rottura delle strutture monodimensionali in regime elastoplastico, Giorn. Genio Civ., no. 4, 1952.
W. T. Koiter,General theorems for elastic-plastic solids, in Progr. in Solid Mech., Ed. J. N. Sneddon and R. Hill, North-Holland Pub., Amsterdam, 1960.
W. Prager, andP. G. Hodge,Theory of perfectly plastic solids, J. Wiley, New York, 1951.
G. Colonnetti, Sul problema delle coazioni elastiche, Rendic. Accad. Lincei, Serie 5, 27, 1918.
M. Save,Une interprétation du théoreme de Colonnetti, Journ. Appl. Math. Physics, no. 5, 1962.
J. B. Dennis,A dual problem for a class of quadratic programs, MIT Research Note, no. 1, 1957.
W. S. Dorn,Duality in quadratic programming, Quart. Appl. Math., no. 2, 1960.
M. R. Horne,The stability of elastic plastic structures, in: Progr. in Sol. Mech., Vol. II, North-Holland Publ. Amsterdam, 1961.
C. Gavarini,I teoremi fondamentali del calcolo a rottura e la dualità in programmazione lineare, Ingegneria Civile, no. 18, 1966.
D. L. Drucker, W. Prager andH. J. Greenberg,Extended limit design theorems for continuous media, Quart. Appl. Math., no. 4, 1951.
H. J. Greenberg,The principle of limiting stress for structures, 2d Symp. on Plasticity, Brown Univ., 1949.
S. M. Feinberg,The principle of limiting stress (in Russian), Prik. Mat. i Mekh, no. 12, 1948.
R. K. Livesley,Matrix methods of structural analysis, Pergamon Press, Oxford, 1964.
O. C. Zienkiewicz andY. K. Cheung,The finite element method in structural and continuum mechanics, McGraw-Hill, London, 1967.
G. Maier,Contributi per una teoria delle strutture elastoplastiche con impostazione “alla Colonnetti”, to appear.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
The results presented here form part of a series of studies supported by the C.N.R. (National Research Council).
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Maier, G. Quadratic programming and theory of elastic-perfectly plastic structures. Meccanica 3, 265–273 (1968). https://doi.org/10.1007/BF02186946
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02186946