Summary
The application of the theory of variations on the problem of convex extremal bodies has led to the following result: The extremal body must necessarily be a spherical circular polyhedron. The surface of this body consists of countable infinite many circular disks. All edges are circular lines. The body can be obtained from a sphere by continually cutting of calottes.
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References
H. Hadwiger, P. Glur undH. Bieri, Exper.4, 304 (1948).
H. Hadwiger, Beweis einer Extremaleigenschaft der symmetrischen Kugelzone, Portugaliae Mathematica7, 73 (1948).
Ein Beweis auf der Grundlage numerischer Berechnung ist im « Archiv der Mathematik », Verlag G. Braun, Karlsruhe (Baden), erschienen:1, 462 (1949).
Vergleiche die einschlägigen Abschnitte inW. Blaschke:Vorlesungen über Differentialgeometrie, I, (3. Aufl., Springer-Verlag, Wien 1930).
Läßt man nachträglich das Volumen im Intervall 0≦V≦4π3 variieren, so resultiert eine zwischen Kreisscheibe und Kugel interpolierende Schar von Kugelkreispolyedern.
Die Feinstruktur steht noch aus. Es bestehen plausible Vermutungen.
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Bieri, H. Über konvexe Extremalkörper. Experientia 5, 355 (1949). https://doi.org/10.1007/BF02174510
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02174510