Sommario
Si considera la stabilità asintotica di solidi isotropi e lineari di Kelvin e Voigt sollecitati da forze smorzanti proporzionali alla velocità e carichi superficiali non conservativi, i quali sono funzioni lineari di spostamenti e derivate di spostamenti. Si deduce il problema ai limiti che è aggiunto al sistema originario di equazioni di campo, e si imposta un principio variazionale dal quale si generano questi due problemi ai limiti. Il principio variazionale serve come base per un procedimento approssimato (simile al metodo di Ritz) per risolvere problemi non conservativi di stabilità elastica nei quali sono presenti gli effetti di smorzamento interno ed esterno. Si applica questo procedimento per constatare il valore critico del parametro dell'intensità del carico, Qcr, in una mensola e una trave con un estremo incastrato e l'altro incernierato, caricate da una distribuzione continua di forze di modulo che varia linearmente con la coordinata di posizione e retta d'azione solidale con la deformata del l'asse della trave. Si mostrano grafici dell'andamento di Qcr con i due parametri di smorzamento, e si nota che il tipo di vincolo alle estremità della trave può avere un effetto significante sulla maniera in cui Qcr varia come una funzione dei parametri di smorzamento.
Summary
The asymptotic stability of linear isotropic Kelvin-Voigt solids subjected to external damping and noncon-servative surface tractions which are linear functions of displacements and displacement gradients is considered. The boundary value problem that is adjoint to the original system is derived, and a variational principle from which these two boundary value problems may be generated is stated. The variational principle serves as a basis for an approximate method (similar to the Ritz method) for solving nonconservative stability problems in which the effects of internal and external damping are present. The method is applied to determine the value of the critical load intensity Qcr in a cantilever and a clamped-simply supported beam subjected to a linearly distributed tangential load as well as to internal and external damping forces. Plots of the variation of Qcr with the two damping parameters are given, and it is shown the nature of the boundary conditions can have a significant effect on the manner in which Qcr varies as a function of the damping parameters.
References
H. Leipholz,Über die Konvergenz des Galerkinschen Verfahrens bei nicht selbstadjungierten und nichtkonservativen Eigenwertproblemen, Zeit. angew. Math. Phys.,14, pp. 70–79, 1963.
H. Leipholz,Über die Zulässigkeit des Verfahrens von Galerkin bei linearen, nichtselbst adjungierten Eigenwertproblemen, Zeit. angew. Math. Phys. 16, pp. 837–843, 1965.
H. Leipholz,Über die Konvergenz des Galerkinschen Verfahrens bei nichtkonservativen Stabilitätsproblemen von Platten und Stäben, Zeit. angew. Math. Mech., 45, pp. T127-T129, 1965.
H. Leipholz,Über die Wahl der Ansatzfunktionen bei der Durchführung des Verfahrens von Galerkin, Acta Mech., 3, pp. 295–317, 1967.
S. Nemat-Nasser, S. N. Prasad andG. Herrmann,Destabilizing effect of velocity-dependent forces in nonconservative continuous systems, AIAA J., 7, pp. 1276–1280, 1966.
M. Levinson,Application of the Galerkin and Ritz methods to nonconservative problems of elastic stability, Zeit. angew. Math. Phys., 17, pp. 431–442, 1966.
G. Ballio,Formulazione variazionale del problema dell'asta caricata in punta da forze non conservative, Costruzioni Metalliche, 4, 1967.
G. Ballio,Sistemi aggiunti in problemi di stahilità elastica in campo non conservativo, Rendiconti dell'Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, 101, pp. 331–360, 1967.
S. N. Prasad andG. Herrmann,The usefulness of adjoint systems in solving nonconservative stability problems of elastic continua, Int. J. Solids Structures, 5, pp. 727–735, 1969.
H. Leipholz,Application of a generalized principle of Hamilton to nonconservative problems, University of Waterloo Report No. 38, Waterloo, Ontario, March, 1970.
R. N. Dubey,Variational method for nonconservative problems, J. Appl. Mech., 37, pp. 133–136, 1970.
R.-C. Shieh,Variational method in the stability analysis of nonconservative problems, Zeit. angew. Math. Phys., 21, pp. 88–100, 1970.
S. Nemat-Nasser andJ. Roorda,On the energy concepts in the theory of elastic stability, Acta Mech., 4, pp. 296–307, 1967.
R. H. Plaut andE. F. Infante,The effect of external damping on the stability of Beck's column, Int. J. Solids Structures, 6, pp. 491–496, 1970.
G. L. Anderson andW. W. Walter,Application of a variational method to dissipative, nonconservative problems of elatic stability, Watervilet Arsenal Technical Report WVT-7142, Watervilet, New York, 1971.
W. Hauger,Die Knicklasten elastischer Stäbe unter gleichmässig verteilten und linear veranderlichen, tangentialen Drukkräften, Ingen.-Arch., 35, pp. 221–229, 1966.
I. Stakgold,Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Volume I, The Macmillan Co., pp. 122–123, New York, 1967.
H. Leipholz,Stability Theory: An Introduction to the Stability of Dynamic Systems and Rigid Bodies, Academic Press, New York, 1970.
O. Bottema,On the stability of the equilibrium of a linear mechanical system, Zeit. angew. Math. Phys., 6, pp. 97–103, 1955.
H. Ziegler,Die Stabilitätskriterien der Elastomechanik, Ingen.-Arch., 20, pp. 49–56, 1952.
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Anderson, G.L. On the role of the adjoint problem in dissipative, nonconservative problems of elastic stability. Meccanica 7, 165–173 (1972). https://doi.org/10.1007/BF02128762
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02128762