A numerical program for dealing with finite-amptlitude disturbances in plane parallel laminar flows

Sommario

Il comportamento delle perturbazioni periodiche di ampiezza finita nei moti laminari piani viene studiatò con un metodo numerico che somiglia ad una simulazione.

Sostanzialmente non viene fatta l'ipotesi che le perturbazioni dipendano dal tempo tramite una velocità di fase costante ed una ampiezza di tipo esponenziale; ipotesi che conduce nel caso lineare alle note equazioni di Örr-Sommerfeld.

Si deve così risolvere un sistema di equazioni non lineari alle derivate parziali sia rispetto al tempo che alla coordinata ortogonalle alla parete con condizioni sulle pareti che sono state generalizzate per pareti ondulate con scanalature ortogonali al moto, anche dipendenti dal tempo.

Le equazioni del moto si riducono ad un sistema ordinario di equazioni differenziali se si esprimono le derivate parziali tramite delle differenze finite. La loro integrazione rispetto al tempo è fatta col metodo di Runge Kutta-Gill del quarto ordine.

Si possono così studiare anche perturbazioni lontane dalla curva di neutralità. Come esempio si studia il flusso piano di Poiseuille ad un basso numero di Reynolds.

Summary

For plane flows the behaviour of finite-amplitude disturbances, periodic in the direction of motion, is studied here in a way which is somehow similar to a numerical simulation. In fact the foundamental hypothesis which in the linear approach conducts for transverse disturbances to the well known Örr-Sommerfeld system of equations — namely that the periodic disturbance depends on time both by an exponential factor for the amplitude and a constant velocity for the phase — is not made here.

This requires to solve a system of non-linear partial differential equations respect both to time and to the space coordinate orthogonal to the wall(s).

Boundary conditions are written also for walls wavy in the transverse sense.

Solution is found integrating step-by-step with a Runge-Kutta procedure and respect to time a system of ordinary first order differential equations obtained using a finite difference approximation for space derivatives.

The method allows to study also disturbances far from the neutral ones and to have detailed information on their interaction with main flow.

As an example plane Poiseuille flow at a low Reynolds number is considered.