Continuous and discrete models in finance, in particular for stochastic interest rates

Abstract

The paper explains a general method for constructing interest rate models in discrete time. The relevant term structure can be computed recursively in the Markovian case with finite state space. Calculations become particularly easy for binary and ternary tree structures.

It is instructive to look at the diffusion limits of such Markov Chains. This diffusion limit does not inherit all properties of the Markov Chain which it approximates.

Sommario

La modellistica nel tempo discreto per la struttura per scadenza per scadenza dei tassi di interesse è spiegata ed esemplificata nel caso Markoviano. Risultano particolarmente utili due modelli basati su catene di Markov:

• - il modello di Ehrenfest, che conduce ad una struttura ad albero a due rami,

• - il modello di Ehrenfest conskipping, che conduce ad una struttura a tre rami.

I prezzi corrispondenti a questi modelli possono essere ottenuti con procedura ricorsiva. È istruttivo studiare i limiti diffusivi di entrambi i modelli. In tutti e due i casi si può ottenere la stessa legge di probabilità per il limite diffusivo. In questo senso l'approssimazione diffusiva è meno informativa dei corrispondenti modelli discreti.