Sulla convergenza di un algoritmo di direzioni ammissibili per problemi di ottimo a vincoli lineari con funzione oggetto convessa non differenziabile

  • Renato Fonso
Article

Abstract

Se, essendof la funzione obiettivo del problema, {x k } e {f(x k )} sono le successioni delle approssimazioni rispettivamente di una soluzione ottimax* e dell' ottimof(x*) generate da un noto algoritmo di direzioni ammissibili a parametri antizigzag ε k , mostriamo che per avere (a) limk→∞f(x*)=f(x*) basta assumere limk→∞ ε k =0. Inoltre, ove si assuma in più la stretta convessità dif, si ha anche (b) limk→∞x k =x*. Da quest'ultima condizione deriviamo infine specifiche ipotesi, in ordine alla (b), per il caso particolare del problema di trasporto stocastico.

Summary

The aim of the present paper is to analyze, without differentiability of the objective functionf, the convergence of a known «feasible directions» algorithm for constrained optimization problems having the constraints linear [8], 6.5.2.

In these circumstances (i.e. iff is not differentiable) one must, almost in general, verify some preliminary conditions to obtain convergence [4]. Nevertheless, this work is not always easy to accomplish particularly in absence of differentiability.

Here, we establish that under the convexity assumption forf, the only condition limk→∞ ε k =0, where the ε k are the antizigzag parameters, suffices to obtain the convergence of the algorithm, i.e. limk→∞f(x k )=opt., thex k being the approximate solutions to problem. The proof is obtained by application of the Th. 24.5, [6]. Successively, we consider the question if one has also the convergence of {x k } to optimal solution. By using now the Cor. 27.2.2, [6], we establish, for this purpose, that under an additional general qualification forf — precisely the strict convexity — the convergence of {x k } is also stated. Finally, we examine the above property for the stochastic transportation problem [1] for which we indicate special conditions in order to verify the latter convergence property.

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Bibliografia

  1. [1]
    Fonso R.,Ancora sul problema di trasporto stocastico. Atti del V Convegno A.M.A.S.E.S., Perugia 22–24 ottobre 1981 (in corso di stampa).Google Scholar
  2. [2]
    Fonso R.,Sulla convergenza di particolari algoritmi di direzioni ammissibili per problemi di ottimo vincolato. Pubbl. n. 9, Lab. Matematica Generale e Finanziaria, Università di Venezia, Venezia, 1979.Google Scholar
  3. [3]
    Fonso R.,Sulle discontinuità della derivata direzionale di una particolare classe di funzioni convesse. Rend. Com. St. e Prog. Ec., vol XIX (in corso di stampa).Google Scholar
  4. [4]
    Klessig R.,A general theory of convergence for constrained optimization algorithms that use antizigzag provisions. Siam J. Control, 12, 1974, p. 598–608.Google Scholar
  5. [5]
    Polak E.,Computational Methods in Optimization. Academic Press, New York, 1971.Google Scholar
  6. [6]
    Rockafellar R. T.,Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970.Google Scholar
  7. [7]
    Zangwill W. I.,Non linear Programming: A Unified Approach. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1969.Google Scholar
  8. [8]
    Zukhovitskiy S. I. andAvdeyeva L. I.,Linear and Convex Programming. Saunders, Philadelphia, PA., 1966.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1982

Authors and Affiliations

  • Renato Fonso
    • 1
  1. 1.Laboratorio di Matematica Generale e Finanziaria-Facoltà di Economia e CommercioUniversità di VeneziaVeneziaItalia

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