Una classe di funzioni monotone generalizzate

Abstract

Si considera la classe delle funzioni realiF(x,y) definite inS×S, conS⊂R ^N, che soddisfano per ognix,yεS la condizione di monotoniaF(x,y)+F(y,x)≤0. Indebolendo la precedente disuguaglianza si introducono classi di funzioni monotone generalizzate e, supponendo soddisfatta una opportuna condizione di omogeneità, si caratterizzano tali funzioni in base alla struttura del segno delle funzioniΨ _{x, v} (t, s) = F(x + tv, x + sv), x ∈ S, v ∈ R ^N \{0}. Infine dopo aver definite le funzioni F-differenziabili, si introducono classi di funzioni conversse generalizzate, rispetto ad F, e si studiano i collegamenti tra queste classi e la monotonia generalizzata diF.

Summary

We consider the class of real valued functionF(x,y) defined inS×S, withS⊂R ^N, satisfying ∀x,yεS the monotone conditionF(x,y)+F(y,x)≤0. Weakening the previous inequality we introduce the class of quasi-monotone, pseudo-monotone and strictly pseudo-monotone functions. Under a suitable assumption of homogeneity we characterize the generalized monotone functions studying the sign structure of the functionsΨ _{x, v} (t, s) = F(x + tv, x + sv), x ∈ S, v ∈ R ^N\{0}.

Finally by means of the notion ofF-differentiability we introduce new classes of generalized convex functions (with respect toF) and we study the relationship between these classes and the generalized monotonicity ofF.