On the integrability of trigonometric series

Abstract

пУстьϕ(t) — ФУНкцИь УНг А, УДОВлЕтВОРьУЩАь НЕ кОтОРыМ ДОпОлНИтЕльНыМ УслО ВИьМ. В РАБОтЕ ДОкАжыВАЕтс ь, ЧтО ЕслИ пОслЕДОВАт ЕльНОсть {a _k } стРЕМИтсь к НУлУ И

$$\mathop \Sigma \limits_{m = 0}^\infty 2^m \varphi ^{ - 1} (2^{ - m} )\varphi ^{ - 1} (\mathop \Sigma \limits_{2^m< k\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{ \leqslant } 2^{m + 1} } \varphi (\Delta a_k ))< \infty ,$$

гДЕϕ ⁻¹ — ОБРАтНАь кϕ, тО кОсИНУс-РьД$\tfrac{1}{2}a_0 + \mathop \Sigma \limits_{k = 1}^\infty a_k \cos kx$ Ест ь РьД ФУРьЕ сВОЕИ сУММы (кОтОРАь ИНтЕгРИРУЕМА пО лЕБЕ гУ). пРИ тЕх жЕ УслОВИьх НА {a _k } В слУЧАЕ сИНУс-РьДА$\mathop \Sigma \limits_{k = 1}^\infty a_k \sin kx$, пОслЕДНЕЕ УтВЕРжДЕН ИЕ спРАВЕДлИВО тОгДА И тОлькО тОгДА, кОгДА$\mathop \Sigma \limits_{k = 1}^\infty {{\left| {a_k } \right|} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left| {a_k } \right|} k}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} k}< \infty$. ЁтО ДАЕт ОБОБЩЕНИЕ РЕжУльтАт ОВ г. А. ФОМИНА, сООтВЕт стВУУЩИх слУЧАУϕ(t)=t ^p,p>1. ДОкАжАт ЕльстВА ОсНОВАНы НА ОцЕНкАх с лАБОгО И сИльНОгО тИп А Дль МАксИМАльНОгО пРЕОБ РАжОВАНИь гИльБЕРтА, И НА ОДНОМ РЕжУльтАтЕ А. тОРЧИНскОгО ОБ ИНтЕ РпОльцИИ ОпЕРАтОРОВ В пРОстРА НстВАх ОРлИЧА.