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Bemerkungen über die Multiplikation von Vektoren und Quaternionen

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Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungarica Aims and scope Submit manuscript

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Literatur

  1. S. z. B.:G. Frobenius, Über lineare Substitutionen und bilineare Formen,Journal für reine und angew. Math.,84 (1897), S. 1–63, undD. E. Richmond, Complex numbers and vector algebra,Amer. Math. Monthly,58 (1951), S. 622–628.

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  2. Das hier mitgeteilte bildet nur einen kleinen Teil der Untersuchungen vonG. Hajós undT. Szele über diese Fragen.—Auch in der Anfertigung dieser Arbeit verdanke ich ihnen mehrere wertvolle Ratschläge.

  3. Siehe z. B.:E. Picard,Leçons sur quelques équations fonctionelles avec des applications à divers problêmes d'analyse et de physique mathématique (Paris, Gauthier-Villars, 1928, 1950); I. Ch. III. 1, 2.

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  4. Falls man beiderseitige Distributivität voraussetzt, folgt die Kommutativität\(a \cdot b = b \cdot a\) unmittelbar aus (1), da für beliebige Einheitsvektorene 1,e 2 \((e_1 + e_2 ) \bot (e_1 - e_2 ),\) und deshalb\(0 = (e_1 + e_2 ) \cdot (e_1 - e_2 ) = e_1 \cdot e_1 - e_1 \cdot e_2 + e_{2 \cdot } e_1 - e_2 \cdot e_2 = e_2 \cdot e_1 - e_1 \cdot e_2 \) ist.

  5. Falls man beiderseitige Distributivität voraussetzt, so folgt das Alternieren\(a \times b = - (b \times a).\) unmittelbar aus (2):\(a = (a + b) \times (a + b) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b = a \times b + b \times a.\)

  6. Die oben angegebene Lösungsmethode für die Funktionalgleichungf(x+y)+f(x−y)=2f(x) cosy gibt eine einfachere Lösung eines in der Arbeit:St. Kaczmarz, Sur l'équation fonctionnellef(x)+f(x+y)=ϕ(y)f(x+y/2),Fund. Math.,6 (1924), S. 122–129 behandelten Teilproblems. Es sei hier bemerkt, daß auch für die komplexen Zahlen die Multiplikationsregel unter Voraussetzung der Distributivität und der Identifizierung der Horizontalvektoren mit Skalaren, aber natürlich ohnè irgendwelche Invarianz-Voraussetzung, durch Lösung von Funktionalgleichungen des Typs\(f\left( {\frac{{\varphi + \psi }}{2}} \right) = \frac{{f(\varphi ) + f(\psi )}}{2}\) ähnlich bewiesen werden kann. Für den bezüglichenelementargeometrischen Beweis s.T. Szele, A komplex számok bevezetése vektoralgebrai alapon,Matematikai Lapok,1 (1950), S. 349–362.L. Fuchs undT. Szele, Introduction of complex numbers as vectors of the plane,Amer. Math. Monthly,59 (1952), S. 628–631.

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  1. Debrecen

    J. Aczél

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  1. J. Aczél
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Aczél, J. Bemerkungen über die Multiplikation von Vektoren und Quaternionen. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae 3, 309–316 (1952). https://doi.org/10.1007/BF02027830

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