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Deutsche Hydrografische Zeitschrift

, Volume 12, Issue 2, pp 45–64 | Cite as

The spectrum of waves at short fetches

  • R. W. Burling
Article

Summary

Observations to determine the spectra of waves at fetches between 500 and 1300 metres and for wind velocities between 500 and 880 cm. sec−1 are described. Errors involved in the methods of observation and analysis, and natural variation in the data are discussed fully, and 21 spectra obtained under different conditions are presented in detail. Except at the lowest and higher frequencies the true values should usually lie within 50% of the reported values with probability 0.9.

Some of the more important results are summarised as follows:
  • The ratio of a ‘dominant’ wave period obtained directly from the wave record and a mean period\(\hat T\) estimated from the spectrum are found to be constant.

  • The ratio of a directly measured height squared to the integral of the spectrum is constant.

The non-dimensional parameters\(\frac{{gH}}{{U^2 }}\) and\(\frac{C}{U}\) are related to\(\frac{{gF}}{{U^2 }}\) in a manner similar to that found by H. U. Sverdrup and W. H. Munk [1947] and by later authors, but the present data indicate that previous visual estimates such as ‘significant wave-heights’ and ‘periods’ should be applied to a smaller fraction than to one third of the number of waves.

At frequencies greater than that at which the maximum of each spectrum occurs, the spectra, in terms of the mean square surface elevation per unit of frequency (inverse of true period), may be represented by\(W(f) \approx \frac{K}{{f^{5 + \alpha } }}\) whereK andα lie between 7.5 to 10.5 and 0 and 1 respectively, with the lower values more likely in each case. However, the spectra may be asymptotic to a similar form with somewhat higher values ofK. The spectral maximaW(fmax) appear to lie on a curve below and parallel to this asymptote.

The ratio of the period\(\frac{1}{{f_{\max } }}\) at the maximum to the mean period\(\hat T\) is a constant.

The ratio\(\frac{{W(f\max )}}{{\hat T\int {W(f\max )df} }}\) is a constant.

The spectra do not agree with an expression published by J. Darbyshire [1956], but may be represented by\(W(f) = \frac{C}{{fp}}e^{ - \frac{A}{{fr}}} \) wherep ≈ 5.5,r = 7 to 9 andA ≈ (1.63) r \(\left( {\frac{{g^{n + 1} }}{{FU^n }}} \right)\frac{r}{{n + 2}}\) wheren lies between 2.4 and 3.0. These values are those most likely according to the observed data, and the representation may be reasonable, for the given conditions, except for wave properties dependent on the high frequency part of the spectrum such as the variance of slope and curvature, in which case a high frequency cut-off and a different representation for the capillary waves should perhaps be used.

Keywords

High Frequency Part 
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Das Wellenspektrum in kurzen Windbahnen

Zusammenfassung

Es wird eine Beschreibung der Beobachtungen zur Bestimmung von Wellenspektren bei Windbahnen von 500 bis 1300 m Länge und Windgeschwindigkeiten von 500 bis 880 cm sec−1 gegeben. Fehler, die sich aus der Beobachtungsmethode und der Analyse ergeben, und die naturgegebenen Schwankungen der festgestellten Werte werden eingehend besprochen. Mit Ausnahme der niedrigsten und höchsten Frequenzen dürften die wirklichen Werte mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 gewöhnlich innerhalb 50% der angegebenen Werte liegen.

Einige der wichtigsten Ergebnisse werden wie folgt zusammengefaßt:
  • Es wird festgestellt, daß das Verhältnis zwischen einer „dominierenden“ Wellenperiode, die direkt der Wellenregistrierung entnommen, und einer mittleren Periode\(\hat T\), die nach dem Wellenspektrum geschätzt wurde, konstant ist.

  • Das Verhältnis der direkt gemessenen quadrierten Höhe zum Integral des Spektrums ist konstant.

Die Beziehung der dimensionslosen Parameter\(\frac{{gH}}{{U^2 }}\) und\(\frac{C}{U}\) zu\(\frac{{gF}}{{U^2 }}\) ist der von H. U. Sverdrup und W. H. Munk [1947] und später auch von anderen Autoren festgestellten Beziehung ähnlich; die hier gewonnenen Werte lassen jedoch erkennen, daß frühere, auf Augenbeobachtung beruhende Schätzungen, wie z.B. „charakteristische Wellenhöhe“ und „Periode“, nur auf weniger als ein Drittel der Wellenanzahl angewendet werden sollten.

Bei Frequenzen, die höher sind als die, bei denen das Maximum jeweilig im Spektrum auftritt, können die Spektren, ausgedrückt durch das mittlere Quadrat der Auslenkungen im Durchschnittsniveau der Wasseroberfläche per Frequenzeinheit (Frequenz invers zur echten Periode), durch\(W(f) \approx \frac{K}{{f^{5 + \alpha } }}\) dargestellt werden, wobei die Werte fürK und α zwischen 7,5 und 10,5, bzw. zwischen 0 und 1 liegen; dabeisind die niedrigeren Werte immer die wahrscheinlicheren. Sobald die Werte vonK etwas höher sind, können die Spektren jedoch gegen einen ähnlichen Formelausdruck asymptotisch werden. Die Maxima der SpektrenW(f[inmax) scheinen auf einer Kurve zu liegen, die unterhalb dieser Asymptote liegt und parallel zu ihr ist.

Das Verhältnis der Periode\(\frac{1}{{f_{\max } }}\) (an der Maximumstelle) zur mittleren Periode\(\hat T\) ist konstant.

Der Quotient\(\frac{{W(f\max )}}{{\hat T\int {W(f\max )df} }}\) ist ebenfalls konstant.

Die Spektren stimmen nicht mit einem von J. Darbyshire [1956] veröffentlichten Formelausdruck überein; sie sind vielmehr darzustellen durch\(W(f) = \frac{C}{{fp}}e^{ - \frac{A}{{fr}}} \), wobeip ≈ 5,5,r=7bis9 undA ≈ (1,63)r\(\left( {\frac{{g^{n + 1} }}{{FU^n }}} \right)\frac{r}{{n + 2}}\) sind; dabei hatn einen Wert zwischen 2,4 und 3,0. Nach den beobachteten Daten sind diese Werte die wahrscheinlichsten, und ihre hier gegebene Darstellung dürfte unter den gegebenen Bedingungen den Beobachtungen am besten gerecht werden. Eine Ausnahme hiervon machen diejenigen Welleneigenschaften, die von dem Abschnitt des Spektrums mit hohen Frequenzen abhängen, wie z.B. die Streuung der Neigung und der Krümmung der Wellenabhänge. In diesem Falle sollten vielleicht die hohen Frequenzen nicht berücksichtigt und eine besondere Darstellung für die Kapillarwellen benutzt werden.

Le spectre de vagues en présence de courts fetches

Résumé

Dans l'article suivant, l'auteur décrit des observations faites pour décider le spectre des vagues en présence de fetches aux longueurs comprises entre 500 et 1300 mètres, et en présence d'un vent d'une vitesse entre 500 et 880 cm. sec−1. Des erreurs inhérentes aux méthodes d'observations et de l'analyse, ainsi que les variations naturelles des données sont discutés en détail. En outre, on présente en détail 21 spectres obtenus en circonstances diverses. Sauf pour les fréquences les plus hautes et les plus basses, la valeur vraie ne devrait pas dépasser 50 pour cent des valeurs indiquées, avec une probabilité de 0,9.

Une sommaire des résultats les plus importants est présentée ci-après.

Le rapport entre la période «dominante» d'une vague (prise directement de l'enregistrement) et la période moyenne\(\hat T\) (estimée d'après le spectre) est constant.

Le rapport entre le carré de la hauteur, mesurée directement, et l'intégrale du spectre est constant.

Les paramètres sans dimensions\(\frac{{gH}}{{U^2 }}\)et\(\frac{C}{U}\) se lient au paramètre\(\frac{{gF}}{{U^2 }}\) d'une façon qui rassemble à celle qui fut trouvée par H. U. Sverdrup et W. H. Munk [1947], et constatée plus tard par d'autres auteurs; mais les données actuelles nous suggèrent que les estimations visuelles, comme celles des «hauteurs et périodes significatives des vagues» ne devraient s'appliquer qu'à une partie du nombre des vagues, qui est inférieure à un tiers.

En présence de fréquences plus grandes que celles auxquelles le maximum de chaque spectre a lieu, le spectre exprimé en termes du carré moyen du détournement du niveau moyen de la surface de l'eau (mean square surface elevation) pour l'unité de la fréquence (en sens inverse de la période vraie), se laisse représenter au moyen de\(W(f) \approx \frac{K}{{f^{5 + \alpha } }}\),K étant entre 7,5 et 10,5, et α entre 0 et 1 respectivement. Les valeurs les plus basses en sont toujours les plus probables. Pourtant les spectres pouvaient devenir asymptotiques envers une expression analogue dans laquelleK atteint des valeurs un peu plus élevées. Les maximaW (#x0192;max) du spectre semblent se trouver sur une courbe qui est au-dessous de cette asymptote, et en parallèle à elle.

La période\(\frac{1}{{f_{\max } }}\) (située à la place du maximum) est en proportion constante avec la période moyenne\(\hat T\).

Le quotient\(\frac{{W(f\max )}}{{\hat T\int {W(f\max )df} }}\) est également constant.

Les spectres ne s'aecordent pas à une expression publiée par J. Darbyshire [1956]; ils se laissent plutôt représenter par\(W(f) = \frac{C}{{fp}}e^{ - \frac{A}{{fr}}} \)p ≈ 5,5,r = 7 à 9, etA ≈ (1,63r\(\left( {\frac{{g^{n + 1} }}{{FU^n }}} \right)\frac{r}{{n + 2}}\) où la valeur den varie entre 2,4 et 3,0. Vu les faits observés, celles-ci sont les valeurs qui ont pour elles la plus grande probabilité; et la représentation choisie fait le mieux justice à ce que l'on peut attendre dans les conditions données. Les propriétés des vagues qui dépendent de la partie du spectre comprenant les hautes fréquences, comme, par exemple, les variations de l'inclination et de la courbure des pentes des vagues, en font exception. Dans ce cas, il est peut-être recommandable de laisser de côté les hautes fréquences, et de se servir d'une représentation particulière pour les vagues capillaires.

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Copyright information

© Deutsches Hydrographisches Institut Hamburg 1959

Authors and Affiliations

  • R. W. Burling

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