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Literaturverzeichnis
Vgl. die zusammenfassende Darstellung des Verf.:Lagerungen in der Ebene, auf der Kugel und im Raum (Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1953).
Diese Einschränkung ist im Fallek≦0 nicht nötig, da es sich hier stets um unendlich viele Kreise handeln muß, um positive Lagerungsdichte zu erreichen.
Fürk>0 folgt aus der Bedingung, daß die Anzahl der Kreise ≧3 ist, daß\(\sqrt k r \leqq \pi /3\), d. h. 2 cos\(\sqrt k r \geqq 1\) ausfällt. Istk<0, so tritt natürlich in der Definition vona die hyperbolische Cosinusfunktion auf.
Im Folgenden bezeichnen wir einen Bereich und seinen Flächeninhalt mit demselben Symbol.
Für nicht ganzzahlige Werte vona wurde die maximale Lagerungsdichte vonK. Schütte undB. L. van der Waerden [Auf welcher Kugel haben 5, 6, 7, 8 oder 9 Punkte mit Midestabstand Eins Platz?Math. Annalen,123 (1951), S. 96–124] füra≦2π/arc cos0,25=4,7668... bestimmt.
Vgl. z.B. D. M. Y. Sommerville, The regular divisions of space ofn dimensions and their metrical constants. Rendiconti circ. mat. Palermo,48 (1924), 9–22.
Die Ungleichung 16kr 2 > π2 besteht nur in dem leicht zu behandelnden Fall von drei oder vier Kreisen.
Im Fallek>0 stimmt\(\{ \mathfrak{P}\} \) mit dem sphärischen Netz der konvexen Hülle der Kreismittelpunkte überein.
Diese Tatsache war schonJ. Bolyai bekannt. (Appendix §§ 39 und 41.)
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Vorgelegt vonG. Hajós
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Tóth, L.F. Kreisausfüllungen der hyperbolischen Ebene. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae 4, 103–110 (1953). https://doi.org/10.1007/BF02020354
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02020354