On a problem of L. Leindler concerning strong approximation by Fourier series and Lipschitz classes

Abstract

Пустьϕ — возрастающа я непрерывная фцнкци я на [0,π],ϕ(0)=0 и

$$\mathop \smallint \limits_0^h \frac{{\varphi \left( t \right)}}{t}dt = O\left( {\varphi \left( h \right)} \right){\text{ }}\left( {h \to 0} \right).$$

Положим

$$\psi \left( h \right) = h\mathop \smallint \limits_h^\pi \frac{{\varphi \left( t \right)}}{{t^2 }}dt \left( {h \in (0, \pi ]} \right).$$

Доказывается следую щая теорема.Пусть f∈ С[−π, π], ω(f, δ)=О(ϕ(δ))) и

$$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\varphi \left( {\left| h \right|} \right)}}\left| {f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)} \right| = 0$$

для x∈E⊂[−π, π], ¦E¦>0. Тогда д ля сопряженной функц ии f почти всюду на E выполн яется соотношение

$$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\psi \left( {\left| h \right|} \right)}}\left| {\tilde f\left( {x + h} \right) - \tilde f\left( x \right)} \right| = 0.$$

Из этой теоремы вытек ает положительное ре шение одной задачи Л. Лейндлера.