Stress analysis for linear viscoelastic materials

Summary

The relations between stress and strain prescribing linear viscoelastic behavior are discussed from the standpoint of application to problems of stress analysis. This consideration involves some important differences from the assessment of linear viscoelastic laws for the representation of material properties only.

The use of the differential operator relation between stress and strain is usually most convenient, although the integral operators comprising the creep function or relaxation function can also sometimes be conveniently utilized. Examples of these are given, including the problem of indentation, in which the region of contact of a rigid spherical indentor under constant load can be expressed directly in terms of the creep function. When differential operator relations, which correspond to the usually considered viscoelastic models, are used, it is shown that a consistent application of the theory of delta functions and the associated symbolic differentiation permits initial values to be determined for the evaluation of the resulting differential equations. No mathematical difficulties arise if the loading functions are not smooth, as might be anticipated by the high order time derivatives which appear in the viscoelastic relations. An application of this theory is given which falls outside the scope of theLaplace transform type of analysis. The latter is often used to deal with this kind of problem, but has a restricted field of application.

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit behandelt die Beziehungen zwischen Spannung und Dehnung in linear viskoelastischen Körpern vom Standpunkt der Spannungsberechnung. Diese Problemstellung geht wesentlich über die Erwägungen, die beim Studium der materiellen Eigenschaften auftreten, hinaus.

Die Benützung der Differentialoperatorbeziehung zwischen Spannung und Dehnung ist meist günstiger, obgleich die Integraloperatoren, die aus Kriechfunktionen oder Relaxationsfunktionen bestehen, manchmal auch zweckdienlich benützt werden können. Als Beispiel der Anwendung dieser Integraloperatoren wird das Stempelproblem gelöst, wobei die Ausdehnung des Kontaktbereichs des festen, kugelförmigen Stempels unter konstanter Last direkt durch die Kriechfunktion ausgedrückt wird.

Bei der Benützung von Differentialoperator-beziehungen (die den bekannten viskoelastischen Modellen entsprechen) wird gezeigt, daß eine Anwendung der Theorie der Deltafunktionen die Bestimmung der Anfangsbedingungen für die Differentialgleichungen zuläßt. Auch wenn die Belastungsfunktionen nur stückweise glatt sind, treten keine Schwierigkeiten auf, trotz der höheren Ableitungen, die in den viskoelastischen Stoffbeziehungen auftreten. Ein zweites Beispiel zeigt eine Anwendung der Deltafunktionen auf ein Problem, das der Behandlung mit Hilfe derLaplace-Transformation nicht zugänglich ist.