Summary
Another constructive proof is presented for the fact that a system of linear equations with integer coefficients in bounded integer variables is equivalent to a single equation, which is a linear combination of the original ones. The equation is obtained in a number of steps; in each step two equations are replaced by a single one. This replacement is performed subject to the condition that the remaining equations hold and a final equation with relatively small coefficients is obtained. It may be inefficient however to calculate small coefficients, as the original coefficients can be used to represent the final ones in a suitably chosen number system.
Zusammenfassung
Ein System linearer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten in beschränkten ganzzahligen Variablen ist äquivalent zu einer einzigen Gleichung, die sich als Linearkombination der ursprünglichen Gleichungen schreiben läßt. In einem neuen konstruktiven Beweis von diesem Satz wird gezeigt, wie die endgültige Gleichung in einigen Schritten gefunden werden kann. In jedem Schritt werden zwei Gleichungen von einer einzigen ersetzt unter der Voraussetzung, daß die übrigen Gleichungen gültig bleiben.
Obwohl die Koeffizienten der Endgleichung verhältnismäßig klein sind, ist es nicht immer zweckmäßig, sie in der angegebenen Weise zu berechnen, da man ein Zahlensystem anwenden kann, in dem die Koeffizienten der ursprünglichen Gleichungen zur Darstellung der neuen Koeffizienten gebraucht werden.
Similar content being viewed by others
References
Anthonisse, Jac. M.: A Note on Reducing a System to a Single Equation, Mathematisch Centrum, Amsterdam, preliminary report BN 1/70, December 1970.
Elmaghraby, S. E., andM. K. Wig: On the treatment of stock cutting problems as diophantine programs, North Carolina State University and Corning Glass Research Center, Report No. 61, May 11, 1970.
Mathews, G. B.: On the partition of numbers, Proceedings of the London Mathematical Society,28, 486–490, 1897.
Padberg, M. W.: Equivalent Knapsack-type Formulations of Bounded Integer Linear Programs, Carnegic-Mellon University, Management Sciences Research Report No. 227, September 1970.
Author information
Authors and Affiliations
Additional information
This note is a slightly revised version of report BW 12/71 (July 1971).
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Anthonisse, J.M. A note on equivalent systems of linear diophantine equations. Zeitschrift für Operations Research 17, 167–177 (1973). https://doi.org/10.1007/BF01951415
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01951415