Abstract
Let Φ⊂F fields. With respect to the complex number plane we call the elements of Fpoints, the subsets Φm+b, m≠O,b∃F, lines and the bijektions z∃F→zm+b∃F (direct)similitudes. Two noncollinear point-triplets (a1,a2,a3) and (b1,b2,b3) are said to besimilar triangles if there exists a similitude, mapping a1 onto b1 for i=1,2,3. Therefore, similarity is an equivalence. relation on the set of all triangles.
In this paper, we characterize these geometries axiomatically, starting from incidence structures with an abstract equivalence relation — called similarity — on the set of all triangles by imposing successively similarity-axioms for triangles.
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Leißner, W. Ein Axiomatischer Aufbau der Ähnlichkeitsgeometrie. J Geom 5, 117–146 (1974). https://doi.org/10.1007/BF01949678
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01949678