Die ɛ-Störung linearer und quadratischer Optimierungsaufgaben und ihre Anwendung auf das Hildreth-Verfahren

Zusammenfassung

Durch eine ɛ-Störung in der Diagonalen der quadratischen Form kann man eine lineare oder quadratisch semidefinite Optimierungsaufgabe zu einer streng definiten quadratischen Aufgabe machen, so daß Lösungsverfahren, die die Formmatrix als nichtsingulär voraussetzen müssen, anwendbar werden. Bekanntlich konvergiert die Lösungx ^ɛ der ɛ-gestörten Aufgabe für ɛ → 0 gegen den Lösungsvektorx ^m von minimalem Betrag der ursprünglichen Aufgabe. Wir zeigen darüber hinaus, daß im linearen Fall immer und im eigentlich quadratischen in gewissen Fällen schon für 0<ɛ<ɛ* die beiden Lösungenx ^ɛ undx ^m übereinstimmen. Im linearen Fall ist die obere Grenze ɛ* durch die Lösung eines linearen Ungleichungssystems gegeben.

Im zweiten Abschnitt wenden wir dasHildreth-Verfahren mittels der ɛ-Störung auf lineare und quadratisch semidefinite Aufgaben an, diskutieren Konvergenz- und Genauigkeitsfragen und kommen zu dem Schluß, daß man in der Praxis sowohl bei Rechnung von Hand als auch bei maschineller Rechnung zu befriedigenden Ergebnissen kommt.

Summary

Linear and quadratic semidefinite programming problems may be transformed into strongly definite quadratic problems by means of an ɛ-perturbation of the quadratic form so that procedures which presuppose the matrix of the form to be nonsingular, may be applied. As is well known, the solutionx ^ɛ of the ɛ-perturbated problem converges to the solutionx ^m of minimal length of the original problem as ɛ → 0. We show that always in the linear case and in the quadratic case under certain circumstances, both solutionsx ^ɛ andx ^m are equal if 0 <ɛ<ɛ*. In the linear case, the upper limit ɛ* is given by the solution of a system of linear inequalities.

In the second part of this paper we apply the method ofHildreth to linear and quadratic semidefinite programming problems by the ɛ-perturbation. We discuss questions of convergence and exactness, and conclude that in practice calculation by hand as well as by computer leads to satisfying results.