Über eine asymptotische Formel in der Theorie der Warteschlangen

Zusammenfassung

MitT _i (i=1, 2, ...) seien identisch verteilte, unabhängige, nicht-negative Zufallsgrößen bezeichnet. Die Verteilungsfunktion vonT _i wird als nicht-gitterförmig zunächst angenommen. Es wird fürt>0,τ>0 die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

$$E: = \mathop \cup \limits_{n = 0}^\infty \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^n {T_i \leqslant \tau ,} \sum\limits_{i = 1}^{n + 1} {T_i > t + \tau ,} } \right\}$$

berechnet. Die asymptotische Lösung für den Fall, daßτ über alle Schranken wächst, wird untersucht. Auf einen Zusammenhang mit der Exzeßzufallsgröße wird hingewiesen. Der Fall einer gitterförmigen Verteilungsfunktion wird anschließend untersucht. Einige Beispiele erläutern die Ergebnisse.

Summary

LetT _i (i=1, 2, ...) be identically independently distributed nonnegative random variables. The distribution function ofT _i is at first assumed to be non-lattice. The probability of the event

$$E: = \mathop \cup \limits_{n = 0}^\infty \left\{ {\sum\limits_{i = 1}^n {T_i \leqslant \tau ,} \sum\limits_{i = 1}^{n + 1} {T_i > t + \tau ,} } \right\}$$

witht>0,τ>0 is obtained. The asymptotic solution forτ → ∞ will be established. A connection to the so-called exzess-variable is mentioned. Next, the case where theT _i 's are lattice random variables is investigated. Some examples illustrate the results.