A weak duality theorem for stochastic linear programming

Summary

A linear programming problem is said to be stochastic if one or more of the coefficients in the objective function or the system of constraints or resource availabilities is known only by its probability distribution. A distinction is usually made between two related approaches to stochastic linear programming, the active and passive approach respectively. An extension of the duality theorem of non-stochastic or deterministic programming problem has been attempted in this paper in the area of stochastic linear programming in its two approaches. The method of proof is based on the idea that since the parameter space defined by a stochastic linear programme is the topological product of the real line with itself, it forms a first countable topological space. Using a set of distinct and selected points in the parameter space the concepts of feasibility, optimality and duality are extended to stochastic linear programming problems of arbitrary dimensionality. Based on the non-singular regions of the parameter space of a stochastic linear programming problem the theorem utilizes the conditions of convergence of the sequence of distinct and selected points in the parameter space to a limit point and thereby generalizes the duality theorem in the stochastic case. Furthermore it is shown that the regions of feasibility of the active and passive approaches of stochastic linear programming may be different, so that on this basis it may be possible to establish some inequality relations for the optimal solutions defined for the respective feasible regions.

Zusammenfassung

Ein lineares Programmproblem wird stochastisch genannt, wenn ein oder mehrere Koeffizienten der Zielfunktion oder des Systems der Beschränkungen oder der verfügbaren Ressourcen nur durch ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt sind. Gewöhnlich wird zwischen zwei verwandten Verfahren für das stochastische lineare Programmieren unterschieden, dem aktiven und dem passiven Verfahren.

In der vorliegenden Arbeit wird versucht, das für nichtstochastische oder deterministische Programmprobleme gültige Dualitätstheorem unter Berücksichtigung beider Verfahrensweisen auf den Bereich des stochastischen linearen Programmierens auszudehnen. Der Beweis gründet sich auf den Gedanken, daß der Parameterraum einen abzählbaren topologischen Raum bildet, da er — durch ein stochastisches lineares Programm definiert — das topologische Produkt der reellen Achse mit sich selbst ist. Unter Benutzung einer Menge von verschiedenen und ausgewählten Punkten im Parameterraum werden die Begriffe der Zulässigkeit, der Optimalität und der Dualität auf stochastische lineare Programmprobleme beliebiger Dimension ausgedehnt. Auf der Grundlage nichtsingulärer Bereiche des Parameterraumes eines stochastischen linearen Programmproblems benutzt das Theorem die Bedingungen für die Konvergenz einer Folge verschiedener und ausgewählter Punkte des Parameterraumes nach einem Grenzpunkt und verallmeinert damit das Dualitätstheorem für den stochastischen Fall. Weiter wird gezeigt, daß die Zulässigkeitsbereiche der aktiven und passiven Verfahren des stochastischen linearen Programmierens verschieden sein können, so daß es möglich sein kann, gewisse Ungleichungen für die optimalen Lösungen aufzustellen, die für die entsprechenden zulässigen Bereiche definiert sind.