Abstract
If a weighted majority game (not necessarily constant sum or super additive) is described by the weights (voting strength) of the players involved and a majority level, then it is desirable to know whether the game is in addition homogeneous. The paper provides a recursive procedure defining a test for homogeneity. This procedure involves the computation of a number theoretical function, the “matrix of homogeneity”. If this matrix is knownall majority levels with respect to which the given set of weights represents a homogeneous simple weighted majority game are known at once.
Zusammenfassung
Ein gewichtetes Majoritätsspiel (nicht notwendig superadditiv oder mit Konstantsummeneigenschaft) kann beschrieben werden durch die Gewichte (die Abstimmungsstärke) der beteiligten Spieler und durch eine Mehrheitsschranke. Wenn eine solche Darstellung gegeben ist, so ist es wünschenswert, das Spiel zusätzlich auf die Eigenschaft der Homogenität hin zu untersuchen. Die vorliegende Arbeit stellt eine rekursive Prozedur zur Verfügung, die einen Test auf Homogenität einer vorgelegten Darstellung eines Spieles impliziert. Die Prozedur ermöglicht die Berechnung einer zahlentechnischen Funktion, der „Homogenitätsmatrix”. Wenn diese Matrix bekannt ist, kann man bei einem vorgegebenen Gewichtssatz alle Majoritätsschranken angeben, bezüglich welcher die vorgelegten Gewichte ein homogenes einfaches gewichtetes Majoritätsspiel darstellen.
Similar content being viewed by others
References
Isbell, J.R.: A class of majority games. Quarterly Journal of Math. Ser.2(7), 1956, 183–187.
—: A class of simple games. Duke Math. Journal25, 1958, 423–439.
—: On the Enumeration of Majority Games. Math. Tables Aids Comput.13, 1959, 21–28.
Lucas, W.F., K. Michaelis, S. Muto, andM. Rabie: A new family of finite solutions. Int. Journal of Game Theory, Vol.11, 1982, 117–127.
Muto, S.: Symmetric solutions for (n, k) games. Int. Journal of Game Theory, Vol.11, 1982, 195–201.
von NeumAnn. J., andO. Morgenstern: Theory of Games and Economic Behavior. Princeton Univ. Press, NJ 1944.
Ostmann, A.: On the minimal representation of homogeneous games. Working Paper124, Inst. of Math. Ec., University of Bielefeld 1983.
Peleg, B.: On the kernel of constant-sum simple games with homogeneous weights, Ill. J. Math.10, 1966, 39–48.
—: On Weights of Constant Sum Majority Games. SIAM J. of Appl. Math.16, 1968, 527ff.
Rosenmüller, J.: The Theory of Games and Markets. North Holland Publishing Company, Amsterdam 1981.
-: On homogeneous weights of simple games. Working Paper 115, Inst. of Math. Ec., University of Bielefeld.
Rosenmüller, J., andH.-G. Weidner: A Class of Extreme Convex Set Functions With Finite Carrier. Advances in Mathematics10, 1973, 1–38.
—: Extreme Convex Set Functions With Finite Carrier: General Theory. Discrete Mathematics10, 1974, 343–382.
Shapley, L.S.: Simple Games. An Outline of the Descriptive Theory. Behavioral Science7, 1962, 59–66.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Rosenmüller, J. Weighted majority games and the matrix of homogeneity. Zeitschrift für Operations Research 28, 123–141 (1984). https://doi.org/10.1007/BF01920914
Revised:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01920914