Zeitschrift für Operations Research

, Volume 30, Issue 3, pp A111–A134 | Cite as

Parameter-dependent renewal theorems with applications

  • Gerold Alsmeyer
Article

Abstract

Letχ1, χ2, ... be a sequence of i.i.d. random variables with positive mean\(\tilde \mu \) and finite variance\(\tilde \sigma ^2 \) and letr(b), b⩾0, be real numbers tending to 0 asb → ∞. Definingsn1+...+χn andSn=Sn(b)=sn+r(b)n, the stopping time τ=τ(b)=inf {n>/1:Sn >b} whereb=b(b) → ∞, will be considered with special regard to the excess over the boundaryRb=sτ+r(b)τ−b. It turns out that the limiting distribution ofRb is the same as in the caser(b)≡0 for allb. Proving this, Blackwell's renewal theorem and its integral version have to be established first in the above stated situation. Finally, an expansion of to vanishing terms asb→∞ will be provided and applied to some examples arising in economics.

Key words and phrases

first passage times Blackwell's renewal theorem key renewal theorem ladder variables excess over the boundary expected stopping time return of investment production time marketing break-even-analysis 

Zusammenfassung

Seienχ1, χ2, ... unabhängige identisch verteilte Zufallsgrößen mit positivem Erwartungswert\(\tilde \mu \) und endlicher Varianz\(\tilde \sigma ^2 \) sowier(b), b⩾0, reelle Zahlen mitr(b)→0 für b→∞. Sei ferners1, s2, ... der zugehörige Summenprozeß,Sn= Sn(b)=sn+r(b)n fürn⩾1 und τ=τ(b)=inf {n⩾1: Sn>b, wobeib=b(b) → ∞ fürb → ∞. Es wird gezeigt, daß die asymptotische Verteilung des ExzessesRb=sτ+r(b)τb mit der im Fallr(·)≡0 übereinstimmt. Dazu werden sowohl das Blackwellsche Erneuerungstheorem als auch seine Integralversion in der vorher beschriebenen parameterabhängigen Situation geeignet formuliert und bewiesen. Als Folgerung ergibt sich dann eine asymptotische Entwicklung vonEτ(b) fürb→∞ bis zu Termen o(1). Anh- and einiger Beispiele aus dem ökonomischen Bereich wird schließlich noch aufgezeigt, wo Approximationen fürEτ(b) von Interesse sein können.

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Copyright information

© Physica-Verlag 1986

Authors and Affiliations

  • Gerold Alsmeyer
    • 1
  1. 1.Mathematisches Seminar der Universität KielKiel 1Germany

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