Das Zeitverhalten von einfachen offenen exponentiellen Warteschlangensystemen mit unendlich vielen Warteplätzen

Zusammenfassung

Die zeitabhängige (instationäre) Lösung für die Zustandswahrscheinlichkeiten und für einige Kenngrößen von Warteschlangensystemen mit einer Bedienungsstation, unendlich vielen Warteplätzen, exponentiellem Zu- und Abgang und beliebigem Anfangszustand wird bestimmt. Die ZustandswahrscheinlichkeitenP _v (τ), d. h. die Wahrscheinlichkeiten fürν Einheiten im System zur Zeitτ, ergeben sich als Integrale, in denen modifizierteSessel-Funktionen 1. Art auftreten. Der ErwartungswertL (τ) und die VarianzV(τ) der Zahlν von Einheiten im System lassen sich als Integrale darstellen, in denen nur die ZustandswahrscheinlichkeitP ₀(τ) auftritt.

Fürϱ<1 undτ→∞ erreichen die Systeme einen stationären Zustand (für den die Lösung bekannt ist); fürϱ≥1 undτ→∞ giltP _v (τ)→0 für alleν, L(τ)→∞,V(τ)→∞.

Istϱ>1, dann wachsenL(τ) undV(τ) für großeτ linear mitτ; ihre Asymptoten werden berechnet. Istϱ=1, dann wachsenL(τ) und die Standardabweichungσ(τ) für großeτ mit$\sqrt \tau$; einfache Näherungsformeln werden gefunden.

Summary

The time dependent solution is determined for the state probabilities and for some characteristic values of queuing systems with a single server, an infinite number of waiting places, exponentially distributed inter-arrival and service times, and any initial state. The state probabilitiesP _v (τ), i.e. the probabilities forν units in the system at timeτ, are given in the form of integrals in which modifiedBessel functions of the first kind occur. Integrating the state probalityP ₀(τ) overτ leads to the meanL(τ) and the varianceV(τ) of the numberν of units in the system.

Forϱ<1 andτ→∞ the systems tend to a steady state (for which the solution is known); forϱ≥1 andτ→∞ we haveP _v (τ)→0 for allν, L(τ)→∞,V(τ)→∞.

Ifϱ>1 asymptotic expansions for largeτ are found givingL(τ) andV(τ) proportional toτ. Ifϱ=1 simple approximate formulas for largeτ are obtained givingL(τ) and the standard deviationσ(τ) proportional to$\sqrt \tau$.