A problem in machine breakdown

Summary

Consider a machine subject to breakdown. The machine, if working, performs a certain kind of task and the probability of completion of a task in time intervalδt isλδt+o (δt). The running time, set-up time (that elapses before repair starts) and the repair time are independent random variables, each following exponential distribution. Explicit expressions are derived for quantities of interest, for example (i) the variance of the number of tasks completed in an arbitrary time interval and (ii) the covariance between the number of tasks completed in two successive non-overlapping time intervals. Each result is presented in a slightly more general form obtained by considering that each task may consist of one or more pieces, the number of pieces in each task has a distribution with finite mean and variance.

Zusammenfassung

Betrachtet wird eine Maschine unter Berücksichtigung technischer Störungen. Wenn die Maschine läuft, führt sie gewisse Arbeitsgänge durch. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Arbeitsgang in einem Zeitintervall der Längeδt beendet wird, beträgtλδt+o (δt). Die Arbeitszeit, Wartezeit (Zeitspanne bis Reparaturbeginn bei Störung) und die Reparaturzeit sind unabhängige, exponentialverteilte Zufallsgrößen. Für gewisse interessierende Größen werden explizite Ausdrücke hergeleitet, z. B. (1) für die Varianz der Anzahl der durchgeführten Arbeitsgänge in einem gegebenen Zeitintervall und (2) für die Kovarianz zwischen den Anzahlen der durchgeführten Arbeitsgänge in zwei aufeinanderfolgenden disjunkten Zeitintervallen. Jedes Ergebnis wird in einer etwas allgemeineren Form dargestellt, die dadurch entsteht, daß angenommen wird, jeder Arbeitsgang bestünde aus mehreren Teilen, deren Anzahl einer Verteilung mit endlichem Mittelwert und endlicher Varianz genügt.