On some properties of trigonometric series with monotone decreasing coefficients

Abstract

В статье рассматрива ются одномерные и дву мерные тригонометрические ряды с моно-тонными коэффициентами. Дает ся пример двойного тригонометрическог о ряда

$$\mathop \sum \limits_{n,k = 1}^\infty a_{nk} \sin nx\sin ky,$$

((1))

, коэффициенты которо го монотонны поk и поп, любая последовательность$\{ S_{n_k m_k } (x,y)\} _{k = 1}^\infty$ прямоугольных части чных сумм ряда (1), где min(n _k ,m _k )→∞ приk→∞, расходится по чти всюду на (0,n)².

Кроме того, изучается мера множеств нулей ф ункций

$$f(x) = \frac{{a_0 }}{2} + \mathop \sum \limits_{n = 1}^{a_0 } a_n \cos nx\tilde f(x) = \mathop \sum \limits_{n = 1}^\infty a_n \sin nx,$$

((2))

, гдеа _n ↓ приn→ ∞, и доказ ьшается несколько те орем о скорости убывания ко эффициентовa _n рядов (2), если все част ичные суммыS _n (f,x) или$S_n (\tilde f,x)$ дляn=1,2,... неотрицате ль-ны на (0,n).