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On Karamardian's theorem about lower semicontinuous strictly quasiconvex functions

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Summary

A well-known theorem ofKaramardian [1967] says: A lower semicontinuous and strictly quasiconvex real-valued function defined on a convex subset ofR n is quasiconvex. A proof is given for the following generalization: A connected quasiorder valued function, defined on a convex subset of a normed real linear space, which is lower semicontinuous and strictly midpointquasiconvex is actually both quasiconvex and strictly quasiconvex. A number of similar results are proved interrelating the concepts of midpoint-quasiconvexity, rational quasiconvexity, quasiconvexity and their “strict“ counterparts.

Zusammenfassung

Ein bekannter Satz vonKaramardian [1967] lautet: Eine strikt quasikonvexe und nach unten halbstetige reellwertige Funktion auf einer konvexen Teilmenge desR n ist quasikonvex. Es wird folgende Verallgemeinerung bewiesen: Eine strikt mittelpunktsquasikonvexe und nach unten halbstetige konnexquasiordnungswertige Funktion auf einer konvexen Teilmenge eines normierten reellen linearen Raumes ist quasikonvex und strikt quasikonvex. Ferner wird eine Anzahl ähnlicher Aussagen bewiesen, die die Begriffe Mittelpunktsqausikonvexität, rationale Quasikonvexität und Quasikonvexität sowie deren „strikte“ Entsprechungen miteinander in Beziehung setzen.

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  1. Institut für Statistik und Unternehmensforschung, Fachbereich Mathematik, Technische Universität München, Barerstraße 23, D-8000, München 2

    F. A. Behringer

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  1. F. A. Behringer
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Behringer, F.A. On Karamardian's theorem about lower semicontinuous strictly quasiconvex functions. Zeitschrift für Operations Research 23, 17–48 (1979). https://doi.org/10.1007/BF01917333

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